1) Силы, действующие на тело при ускоренном движении системы отсчета:
2) Силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:
где Fц – центробежная сила инерции;
- угловая скорость вращающейся системы отсчета;
r ’ – радиус-вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;
R – перпендикулярная к оси вращения составляющая r ’ .
3) Силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета:
Fк = 2m[v ’ ω], (1.47)
где Fк – сила Кориолиса;
v ’ – скорость движения тела;
- угловая скорость вращающейся системы отсчета.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
ma ’ = F + Fин + Fц +Fк, (1.48)
где F, Fин, Fц, Fк - ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.
Основная задача динамики вращательного движения - нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.
Момент силы относительно неподвижной оси вращения - векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо:
M = Fl, (1.49)
где l - плечо силы - кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.
В векторной форме
M = [rF]. (1.50)
Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:
Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.
Момент инерции – характеристика инертности тел (материальных точек) при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения - физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения:
Момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения:
где mi - масса i-й точки;
ri - расстояние i-й точки до оси z;
ρ – плотность вещества, из которого состоит тело;
Теорема Штейнера - момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения (L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо:
В векторной форме
L = [rp] = [rmv], (1.56)
где m - масса материальной точки;
v - скорость материальной точки;
l – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).
Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z - проекция на эту ось вектора L (момента импульса системы):
где ri, pi - радиус-вектор и импульс i-й материальной точки;
n - общее число точек в системе.
Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции:
L = I∙ω. (1.58)
Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I = const (второй закон динамики для вращательного движения):
M = I∙ε; . (1.59)
Импульс вращающего момента - произведение вращающего момента на время его действия:
Mdt = dL. (1.60)
Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.
Осциллятор – физическая система, совершающая колебания. Система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.
Гармонический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).
Уравнение движения гармонического осциллятора:
где a = d 2 x/dt 2 = - ω0 2 x - ускорение материальной точки;
F - возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F = - mω0 2 x = - kx);
k = mω0 2 - коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.
Решение уравнения движения гармонического осциллятора:
Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники:
а) пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.
Уравнение движения пружинного маятника:
где d 2 (l)/dt 2 = - ω0 2 (l);
l – величина деформации.
Решение уравнения движения пружинного маятника:
Круговая частота, частота и период колебаний пружинного маятника:
б) физический маятник - твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс.
Уравнение движения физического маятника:
Решение уравнения движения физического маятника:
где α - начальная фаза колебаний.
Круговая частота, частота и период колебаний физического маятника:
в) математический маятник - тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити.
Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:
Приведенная длина физического маятника - величина, численно равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:
Затухающие (свободные) колебания - движения реальной колебательной системы, сопровождающиеся силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний. При этом энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил.
Уравнение затухающих колебаний:
где r - коэффициент сопротивления.
Решение уравнения затухающих колебаний:
где А = x0e - β t - амплитуда колебаний, убывающая по экспоненциальному закону;
β = r/(2m) - коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды с течением времени;
–собственная частота колебаний системы, т.е. та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (r = 0).
Круговая частота, частота и период затухающих колебаний:
Характеристики затухающих колебаний:
1) декремент затухания - отношение двух смещений, отличающихся друг от друга по времени на период. Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний:
2) логарифмический декремент затухания - величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период:
= lnD = ln(e βΤ ) = βT. (1.75)
Вынужденные колебания – колебания, совершаемые системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по какому-либо закону, например гармоническому:
где F0 - амплитудное значение вынуждающей силы;
- частота вынуждающей силы.
Уравнение вынужденных колебаний:
Решение уравнения вынужденных колебаний:
Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний:
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при некоторой определенной для данной системы частоте (резонансной частоте).
Резонансная частота
1.3. Энергия, работа, мощность
Энергия - количественная мера и качественная характеристика движения и взаимодействия материи во всех ее превращениях. Она является функцией состояния системы и характеризует способности системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.
Изменение энергии при переходе системы из одного состояния в другое равно работе, совершаемой системой в процессе перехода:
Диссипация (рассеяние) энергии механических систем - процесс перехода части их механической энергии в другие формы под влиянием внешних факторов (например, за счет наличия сил сопротивления).
Диссипативные системы - системы, в которых полная механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы, например в теплоту.
Механическая энергия - физическая величина, равная работе, которая может быть произведена при полном превращении движения данной формы в механическую форму движения материи.
Кинетическая энергия - физическая величина, характеризующая способность движущегося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки – одна из функций состояния ее движения.
Кинетическая энергия системы - сумма кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:
где m = mi - масса тела (системы);
- кинетическая энергия i-го тела системы.
Связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом:
Кинетическая энергия при вращательном движении:
1) элементарной массы mi:
где Ii = mi∙ri 2 - момент инерции материальной точки, относительно выбранной оси вращения;
2) тела (системы):
где - момент инерции тела относительно той же оси вращения.
Потенциальная энергия - физическая величина, характеризующая способность системы совершать работу, связанную с изменением конфигурации и взаимного расположения тел или частей в системе.
Изменение потенциальной энергии системы зависит только от начального и конечного ее состояний и равно работе внутренних (консервативных) сил системы, взятой с обратным знаком:
Потенциальная энергия тяготеющих масс:
Потенциальная энергия системы «тело-Земля», если тело находится на некоторой высоте h над поверхностью Земли:
где - потенциальная энергия системы «тело – Земля», если тело находится на поверхности Земли.
Изменение потенциальной энергии в том случае, когда тело поднимается на некоторую высоту h над поверхностью Земли:
Потенциальная энергия упругой деформации:
Связь потенциальной энергии материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле с силой, действующей на материальную точку (тело, систему):
В векторной форме
где Wp = f(x,y,z) - потенциальная энергия системы.
Признак устойчивого равновесия (положения) системы - минимум потенциальной энергии:
Внутренняя энергия - энергия физической системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы, энергии взаимодействия этих частиц и внутримолекулярной энергии.
Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из состояния в состояние:
где U1 – внутренняя энергия системы в начальном состоянии;
U2 – внутренняя энергия системы в конечном состоянии.
Изменение внутренней энергии системы, выполняющей замкнутый процесс:
Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебательное движение - сумма потенциальной и кинетической энергий.
Потенциальная энергия системы, совершающей гармоническое колебание:
Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:
Полная механическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание:
Работа - это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.
Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.
Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr:
dA = Fdr = Fdrcos = Frdr. (1.101)
Работа нескольких сил, действующих на тело (материальную точку, систему), - алгебраическая сумма работ, совершаемых отдельно взятой силой на данном перемещении:
Работа по перемещению массы в поле сил тяготения:
Работа консервативных (потенциальных) сил по замкнутой траектории равна нулю:
Работа, совершаемая при движении материальной точки (тела, системы) по криволинейной траектории:
Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси за время dt:
где M – результирующий момент всех внешних сил; ω – угловая скорость.
Работа постоянной проекции результирующего момента M на выбранное направление:
где M = I = I(d/dt); = dt.
Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на dx:
dA = Fdx = - kxdx. (1.108)
Работа возвращающей силы при изменении положения колеблющейся системы на x:
где x = x0 sin(ω0t + φ0) - смещение системы от положения равновесия.
Мощность - физическая величина, численно равная работе, совершаемой в единицу времени. Мощность характеризует работоспособность машин и механизмов.
Средняя мощность - физическая величина, численно равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени t, к величине этого промежутка времени:
Мгновенная мощность определяется как первая производная от работы по времени:
N = dA/dt = d(FsdS)/dt = Fv, (1.111)
где F - мгновенная сила;
v - мгновенная скорость.
Максимальная мощность при равноускоренном движении
(F = const)
Мгновенная мощность при вращательном движении
где M - мгновенный момент силы; ω - мгновенная угловая скорость.
1.4. Законы сохранения в механике
Закон сохранения энергии в его общефизическом смысле - энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, в количественном отношении оставаясь неизменной.
Закон сохранения и превращения механической энергии - полная механическая энергия замкнутой системы (в отсутствие внешних воздействий), в которой действуют только консервативные силы, остается величиной постоянной:
Закон сохранения импульса - полный импульс замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной:
Закон движения центра масс - центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует равнодействующая всех внешних сил:
Импульс незамкнутой системы сохраняется, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.
Удар - совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом.
Ударный импульс - мера механического взаимодействия тел при ударе ударной силы F за время удара τ:
Коэффициент восстановления k – величина, характеризующая потери энергии при ударе, численно равная отношению скорости взаимодействующих масс после взаимодействия к их скорости до взаимодействия:
Центральный удар – такой удар, при котором центры масс тел лежат на линии удара.
Прямой центральный удар – такой, при котором скорости v1 и v2 центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара.
Центральный абсолютно неупругий удар шаров характеризуется тем, что выполняется только закон сохранения импульса. Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара:
Центральный абсолютно упругий удар шаров характеризуется тем, что выполняются законы сохранения полной механической энергии и импульса. Скорости шаров после взаимодействия:
Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной:
Скорость изменения момента импульса (уравнение моментов):
где L0 - момент импульса тела (системы) относительно начала координат;
Mвн - суммарный вращающий момент внешних сил, действующих на тело (систему).
1.5. Поле тяготения
Поле тяготения создается взаимодействующими массами покоя тел и поэтому является характерным для тел с большими массами и со значениями скорости движения гораздо меньшими, чем скорость распространения света в вакууме.
Напряженность поля тяготения - векторная физическая величина, равная по величине и направлению силе, действующей на единичную массу, помещенную в данную точку поля:
Ускорение, приобретаемое в поле тяготения массой m, направлено к центру большей массы:
Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли:
Ускорение силы тяжести при круговой траектории движения является центростремительным:
Потенциал поля тяготения - скалярная физическая величина, равная потенциальной энергии единичной массы, помещенной в данную точку поля:
Связь между напряженностью и потенциалом поля тяготения:
В векторной форме:
Знак “ – “означает, что напряженность поля тяготения направлена в сторону уменьшения потенциала поля тяготения.
Уравнение движения массы m в поле тяготения при скорости движения тела v0<< с:
Первая космическая скорость
Вторая космическая скорость
Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите:
“Потенциальная яма” - ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц. В этой области пространства потенциальная энергия частицы меньше, чем вне ее.
Характеристики “потенциальной ямы”:
а) ширина – расстояние, на котором проявляется действие сил притяжения;
б) глубина – разность потенциальных энергий частицы на “краю” ямы и на ее “дне”, соответствующем минимуму потенциальной энергии, которую удобнее принять равной нулю.
Основное свойство “потенциальной ямы” – способность удерживать частицу, полная энергия W которой меньше .
Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, по обе стороны которой потенциальная энергия резко спадает. Прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если ее полная энергия не меньше высоты потенциального барьера W .
1.6. Волновые процессы
Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию - процесс распространения колебаний в пространстве.
Фронт волны (волновой фронт) - геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t.
Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
Основное свойство волн, независимо от их природы, - перенос энергии без переноса вещества в пространстве.
Упругие (или механические) волны - механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. Различают продольные и поперечные волны.
Продольные волны - волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.
Поперечные – волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.
В жидкостях и газах возникают и распространяются только продольные волны (“волны сжатия”).
В твердых телах возникают и распространяются не только продольные, но и поперечные волны (“волны сдвига”).
Одиночная волна (импульс) - сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера.
Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.
Бегущие волны - волны, которые переносят в пространстве энергию.
Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса.
Плоские волны – такие, волновые поверхности которых представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.
Сферические волны - такие, волновые поверхности которых представляют собой систему концентрических сферических поверхностей.
Принцип суперпозиции волн - результат геометрического сложения когерентных волн.
Когерентные волны – обладающие в каждой из точек среды постоянной разностью фаз и имеющие одинаковую частоту.
Когерентные источники - точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство когерентные волны.
Интерференция волн – явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве.
Стоячая волна – волна, возникающая при интерференции двух встречных (падающей и отраженной) плоских волн с одинаковой амплитудой.
Пучности стоячей волны - точки, в которых амплитуда удваивается.
Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда обращается в нуль.
Длина стоячей волны - расстояние между соседними узлам 0:
Скорость распространения стоячей волны:
где L – некоторое расстояние, на котором наблюдается стоячая волна;
Фазовая скорость упругих волн:
продольных - ,поперечных - , (1.137)
где E – модуль Юнга; G – модуль сдвига.
Групповая скорость - скорость перемещения в пространстве амплитуды волны:
Длина волны - расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (расстояние, на которое распространяется волна за один период):
где - длина волны;
v – скорость распространения волны.
Волновой вектор k определяет направление волны. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:
где - круговая частота.
Волновое число - численное значение волнового вектора:
Уравнение плоской прямой бегущей волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени:
Уравнение плоской обратной бегущей волны:
Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:
Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве:
где - оператор Лапласа (лапласиан).
Уравнение стоячей волны:
где - амплитуда стоячей волны.
Условие максимального значения амплитуды стоячей волны:
kx = n (n = 0, 1, 2, ); A = 20. (1.147)
Условие минимального значения амплитуды стоячей волны:
kx = (2n + 1); A = 0. (1.148)
Вектор плотности потока энергии волны – физическая величина, модуль которой равен энергии E, переносимой волной за единицу времени (t=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (S):
где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой вычисляется по формуле ;
ρ – плотность среды;
0 – амплитуда волны;
- круговая (циклическая частота);
v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).
1.7. Элементы механики жидкостей
Жидкость - агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным состояниями.
Чистые жидкости по химическому составу - однокомпонентные жидкости.
Жидкие смеси (растворы) по химическому составу - двух - или многокомпонентные жидкости.
Нормальные (обычные) жидкости - однородные макроскопические и изотропные жидкости. При отсутствии внешних воздействий обладают только одной жидкой фазой.
Квантовые жидкости - жидкости, которые могут находиться в нормальной и одной или нескольких анизотропных фазах.
Простые жидкости - жидкости, состоящие из сферически симметричных молекул, между которыми действуют силы Ван дер Ваальса, не имеющие какого-либо преимущественного направления и обладающие наиболее простыми свойствами.
Ближний порядок - упорядоченное расположение по отношению к любой молекуле ближайших к ней соседей.
Зависимость между временем t одного колебания молекулы относительно данного положения и временем "оседлой" жизни t0:
где U - "потенциальный барьер", численно равный разности энергий молекулы в двух возможных областях ее колебаний, разделяющий две возможные области колебаний молекулы);
Т - температура жидкости;
k - постоянная Больцмана.
Число молекул жидкости в некотором сферическом слое толщиной dr на расстоянии r от произвольно выбранной молекулы:
где n0 = N/V - число молекул в единице объема жидкости;
F(r) - радиальная функция распределения, которая определяет вероятность нахождения некоторой молекулы жидкости в какой-либо точке ее объема.
Вязкость - свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Определяется их молекулярным составом и строением.
Основной закон вязкого течения (закон Ньютона):
где dv/dz - градиент скорости в направлении z;
S - площадь слоя, по которому происходит сдвиг;
- коэффициент динамической вязкости, который характеризует сопротивление жидкости смещению ее слоев.
Зависимость коэффициента вязкости жидкостей от температуры:
где U – энергия, необходимая для перехода молекулы жидкости из одного равновесного состояния в другое.
Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности жидкости:
Текучесть жидкостей – свойство, обратное вязкости, обусловлено той свободой движения молекул в объеме, которая еще допускается силами сцепления между ними.
Коэффициент текучести (или текучесть):
Сжимаемость - способность жидкости изменять свой объем под действием всестороннего давления.
Коэффициент сжимаемости - выражает уменьшение единичного объема (или плотности) при увеличении давления на единицу:
где V, ρ - изменение первоначального объема и первоначальной плотности жидкости при изменении давления на p.
Уравнение состояния жидкости (с определенной степенью точности):
Сфера действия молекулярных сил - область, в которой расположены взаимодействующие молекулы, в центре которой находится рассматриваемая молекула (R 10 -9 м).
Экспериментальный закон зависимости объема жидкости от температуры:
где - коэффициент объемного расширения, который определяется соотношением:
Связь коэффициентов сжимаемости и объемного расширения жидкостей:
Поверхностное натяжение - мера некомпенсированности межмолекулярных сил в поверхностном (межфазном) слое.
Работа dA по изменению поверхности жидкости на dS совершается за счет изменения потенциальной энергии поверхностного слоя (поверхностной энергии жидкости) dWps:
где " минус " показывает, что увеличение поверхности жидкости сопровождается совершением работы;
- коэффициент поверхностного натяжения, который характеризует свойства поверхности жидкости и показывает, какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости на единицу.
Работа по изменению поверхности жидкости, совершаемая внешними силами:
dA = - F dx = -dS = - ldx, (1.162)
где l - длина контура, охватывающего поверхность жидкости;
dx - смещение границы поверхностного слоя;
F - сила поверхностного натяжения;
- коэффициент поверхностного натяжения, который численно равен силе поверхностного натяжения, стремящейся изменить длину контура, охватывающего поверхность жидкости, на единицу.
Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры:
где r = dQ/dS - количество тепла, затраченное на изменение поверхности пленки на единицу.
Полное молекулярное давление в поверхностном слое жидкости:
где p0 - молекулярное давление жидкости с плоской поверхностью;
p - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости;
знак "+"- соответствует выпуклой поверхности;
знак "-"- соответствует вогнутой поверхности.
Формула Лапласа для дополнительного давления (для капли, которая полностью заполнена жидкостью, или для пузырька внутри жидкости) в случае:
1) произвольной поверхности
где R1 и R2 - радиусы кривизны поверхностного слоя жидкости;
2) сферической поверхности
где R - радиус сферы;
3) цилиндрической поверхности
где R - радиус цилиндрической поверхности.
Формула Лапласа для дополнительного давления (для пузырька, который не заполнен жидкостью, например мыльного) в случае:
1) сферической поверхности
2) цилиндрической поверхности
Условие равновесия капли на поверхности другой жидкости:
где 12 - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и жидкостью, на которой она находится;
13 - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью, на которой находится капля, и воздухом;
23 - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом.
Условие равновесия капли на поверхности твердого тела:
где 12 - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и твердым телом;
13 - коэффициент поверхностного натяжения между твердым телом и воздухом;
23 - коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом;
- краевой угол (угол между касательными к поверхности жидкости и твердого тела).
Условие смачивания (краевой угол острый):
Условие абсолютного смачивания:
Условие несмачивания (краевой угол тупой):
Условие абсолютного несмачивания:
Капиллярные явления (капиллярность) - изменение высоты уровня жидкости в узких трубах (капиллярах) или зазорах между двумя стенками.
Условие капиллярности:
где - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости при капиллярности;
p = gh - давление;
- радиус мениска; r - радиус капилляра; - краевой угол.
Высота подъема (опускания) жидкости в капиллярах:
Высота подъема (опускания) жидкости в узком зазоре между погруженными в жидкость параллельными пластинами:
где d - расстояние между пластинами.
Давление внутри жидкости во всех точках, расположенных на одном уровне (при механическом равновесии, если жидкость находится в поле тяготения):
Давление в жидкости на двух разных уровнях (при механическом равновесии, жидкость находится в поле тяготения) отличается на величину, равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равного единице:
где p1, p2 - давления жидкости на соответствующих уровнях;
h - высота между слоями.
Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (или газ), находящееся в механическом равновесии, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная по вертикали вверх и приложенная к центру масс вытесненного объема:
Поток жидкости - совокупность частиц, движущейся жидкости.
Линия тока жидкости - линия, касательная к которой совпадает с направлением скорости частицы жидкости в рассматриваемый момент времени и в данной точке пространства. Линии тока жидкости служат для графического отображения потока жидкости.
Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока.
Установившееся (стационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей частиц жидкости в каждой их точке не изменяются со временем.
Неустановившееся (нестационарное) течение жидкости - движение жидкости, при котором не выполняются условия стационарного движения.
Математическая форма записи теоремы (уравнения) о неразрывности (непрерывности струи) для несжимаемой жидкости:
где S - площадь сечения трубки тока;
v - скорость жидкости.
Уравнение Бернулли для стационарно текущей идеальной жидкости (для жидкостей с малой вязкостью):
где - плотность жидкости;
v - скорость течения жидкости;
h - высота, на которой находится некоторое сечение трубки тока;
p - давление жидкости на уровне этих сечений.
Закон изменение давления жидкости для двух сечений (с изменением высоты h сечений) при v1 = v2:
Закон изменение давления жидкости для горизонтального потока (h1 = h2):
где p - давление, не зависящее от скорости (статическое давление жидкости);
- давление, зависящее от скорости (динамическое давление), которое показывает, на какую величину изменяется статическое давление при остановке движущегося потока жидкости.
Полное давление потока жидкости - сумма статического и динамического давлений.
Монометрические трубки (трубки Пито) - приборы, с помощью которых измеряют статическое и полное давление жидкости.
Скорость течения вязкой жидкости в трубе:
где p1, p2 - давления двух сечений трубы;
R - радиус трубы;
r - расстояние от центра трубы до рассматриваемой трубки тока;
- коэффициент вязкости жидкости; l - расстояние между сечениями трубы.
Формула Пуазейля для определения объема жидкости, прошедшего через сечения трубы:
Ламинарное (слоистое) течение жидкости – когда жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь. Ламинарное течение жидкости стационарно.
Турбулентное течение жидкости – когда происходит энергичное перемешивание жидкости. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте изменяется хаотично, течение - нестационарное.
Число Рейнольдса определяет характер течения жидкости:
где - плотность жидкости;
v - средняя по сечению скорость движения жидкости;
l - характерный для поперечного сечения размер;
1. 8. Основы теории относительности
Теория относительности - физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов (свойства пространства-времени).
Специальная (частная) теория относительности (СТО) изучает свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.
Общая теория относительности (ОТО) - теория тяготения, изучающая свойства пространства-времени, которые определяются действующими полями тяготения.
Симметрия (инвариантность) законов физики - неизменность законов физики, устанавливающих соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем при определенных операциях - преобразованиях.
Преобразования пространства-времени:
а) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве - эквивалентность всех точек пространства, т.е. отсутствие в нем выделенных точек (однородность пространства). Любой физический закон (процесс) происходит одинаково в любой точке пространства.
б) Поворот системы как целого в пространстве - симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).
в) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени) означает, что физические законы не меняются со временем.
г) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью означает эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.
Точечное событие - нечто, происходящее в данной точке пространства в данный момент времени (например, выстрел, распад элементарной частицы).
Первый постулат специальной теории относительности (принцип относительности): никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет.
Второй постулат специальной теории относительности (принцип независимости и постоянства скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света.
Третий постулат специальной теории относительности (принцип одновременности событий): события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным.
"Мир" - четырехмерное пространство, в котором каждое мгновенное событие характеризуется точкой (мировой точкой) с указанием координат.
Мировая линия данной материальной точки - некоторая линия в четырехмерном пространстве, отображающая события, происходящие с материальной точкой.
Положение материальной точки, тела в четырехмерной системе отсчета задается с помощью координат: x, у, z, и (x, у, z, - пространственные координаты; - координата времени, равная: = ict, где , c - скорость распространения света в вакууме, t - время). При этом x =x1, у = x2, z = x3, и = ict = x4.
Четырехмерный радиус-вектор S = S(x1, x2, x3, x4) - вектор, проведенный из начала координат в мировую точку. Его три проекции на оси x1, x2 и x3 представляют собой обычные координаты материальной точки x, у и z в момент времени , т.е. в момент времени, которым является четвертая проекция вектора S, деленная на ic.
Четырехмерное перемещение S - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное. Первые три проекции этого вектора x, у, z отображают перемещение материальной точки в обычном пространстве, а четвертая проекция, деленная на ic, равна t.
Пространственно-временной интервал между двумя событиями - расстояние между двумя точками (событиями) в четырехмерном пространстве:
Бесконечно-малый промежуток времени между двумя событиями d - время, которое отметят часы, находящиеся на теле, в то время как часы системы, по отношению к которой тело движется со скоростью v, отметят время dt:
Скорость в четырехмерной системе отсчета - четырехмерный вектор, первые три проекции которого в отличаются от обычных проекцийvx, vу и vz v. Четвертая проекция - мнимая величина, не имеющая физического смысла:
Ускорение в четырехмерной системе отсчета:
Кинематические уравнения движения в четырехмерном системе отсчета(по известному а() можно найти v() и S()):
Формулы преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую (преобразования Г.А. Лоренца):
а) обратные ; у = у ' ; z = z ' ; ; (1.194)
б) прямые ; у = у ' ; z = z ' ; . (1.195)
Следствия из преобразований Лоренца:
а) Закон сложения скоростей (в частном случае, когда скорость "u" направлена вдоль оси OX):
б) Сокращение продольных движущихся масштабов длин (лоренцево сокращение):
где l0 - длина стержня в той системе отсчета, в которой он покоится;
l - длина стержня в системе отсчета, движущейся относительно стержня.
в) Замедление хода движущихся часов:
где τ0 = t2 ' - t1 ' - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в подвижной системе К ' ;
τ = t2 - t1 - промежуток времени, прошедший между этими событиями, в неподвижной системе К.
Первый закон Ньютона в специальной теории относительности устанавливает существование в природе систем отсчета, сколь угодно близких к инерциальным системам отсчета. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.
Зависимость массы от скорости:
где m - масса движущегося тела;
Кинетическая масса
где m - релятивистская (полная) масса;
mк - кинетическая масса.
Масса системы не равна сумме масс, составляющих ее тел:
где m - масса системы;
mi - масса изолированных тел , составляющих систему;
W - энергия взаимодействия изолированных тел.
Импульс (вектор энергии-импульса) материальной точки
где m0 - масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);
v - скорость тела.
Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки) в специальной теории относительности:
Третий закон Ньютона в специальной теории относительности:
где Fμ,n и Fn,μ - силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе пространство-время.
Внутренняя энергия тела пропорциональна массе покоя этого тела:
Кинетическая энергия тела
Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кинетической энергии тела как целого:
где - релятивистская масса.
Энергия связи системы каких-либо частиц - работа, затраченная на разделение системы на составляющие ее частицы и удаление их друг от друга на такое расстояние, на котором их взаимодействием можно пренебречь:
где Eсв - энергия связи;
Ei - сумма энергий разделенных частиц системы;
E - энергия системы.
Сумма масс разделенных частиц больше массы системы на величину энергии связи, деленную на c 2 :
Дефект массы m - разность между суммой масс частиц и массой системы:
Закон взаимосвязи массы и энергии:
Закон изменения импульса-энергии материальной точки:
Закон изменения энергии материальной точки:
Закон изменения кинетической энергии тела:
Соотношение, связывающее полную энергию и импульс релятивистской частицы (в векторной форме):
Связь между импульсом и полной энергией в скалярной форме:
Связь между импульсом и кинетической энергией:
Для частиц с нулевой массой покоя энергия пропорциональна импульсу:
E = cp; p = E/c. (1.218)
Кинетическая масса частиц, которые не обладают массой покоя, равна полной массе: