Схема с весами для численного решения одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием для случая переменного коэффициента теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лекомцев Андрей Валентинович

Рассматриваются одномерные уравнения параболического типа с эффектами запаздываний по временной составляющей для случая переменного коэффициента теплопроводности . Конструируется схема с весами для численного решения этих уравнений. Исследуются порядок погрешности аппроксимации построенной схемы, устойчивость и порядок сходимости.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лекомцев Андрей Валентинович

SCHEME WITH SCALES FOR NUMERICAL SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL HEAT CONDUCTION EQUATION WITH DELAY FOR CASE OF VARIABLE COEFFICIENT OF HEAT CONDUCTIVITY

One-dimensional parabolic equations with delay effects in the time component for the case of variable coefficient of heat conductivity are considered. The scheme with scales is constructed for the numerical solution of these equations. The order of approximation error of the constructed scheme, stability and convergence order are investigated.

Текст научной работы на тему «Схема с весами для численного решения одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием для случая переменного коэффициента теплопроводности»

СХЕМА С ВЕСАМИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЕРЕМЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Ключевые слова: уравнения параболического типа; запаздывание; схема с весами; переменный коэффициент теплопроводности.

Рассматриваются одномерные уравнения параболического типа с эффектами запаздываний по временной составляющей для случая переменного коэффициента теплопроводности. Конструируется схема с весами для численного решения этих уравнений. Исследуются порядок погрешности аппроксимации построенной схемы, устойчивость и порядок сходимости.

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с эффектом последействия вида:

здесь х € [0,Х] — пространственная и Ь € [Ьо,9] — временная независимые переменные; и(х,Ь) — искомая функция; щ(х, ) = — функция-предыстория искомой функции к моменту 1; т — величина запаздывания. Коэффициент а(Ь) удовлетворяет условию

0 < е\ ^ а(Ь) ^ с2, Ь € [Ь0,9].

Пусть заданы начальные и граничные условия

и(х, Ь) = ф(х,Ь), х € [0, X], Ь € [Ьо — т,Ь0], (2)

и(0, Ь) = и(Х, Ь) = 0, Ь € [Ь0, 9]. (3)

Задача (1)-(3) представляет собой простейшую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности с эффектом запаздывания общего вида для случая переменного коэффициента теплопроводности. Будем предполагать, что функции а(Ь), ф(х,Ь) и функционал f таковы, что эта задача имеет единственное решение и(х,Ь), понимаемое в классическом смысле. Отметим, что случай постоянного коэффициента теплопроводности рассмотрен в работе [1].

Обозначим через Q = Q[—т, 0) множество функций и(в), кусочно-непрерывных на полуинтервале [—т, 0), с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа, также функции и(в) имеют конечный левый предел в нуле. Определим норму функции на Q соотношением ||и(-)|и = вир ||и(з)||. Дополнительно будем

предполагать, что функционал f (х, Ь, и, V) определен на [0, X] х [Ь0, 9] х Я х Q и липшицев по двум последним аргументам [2, с. 93].

Разобьём отрезки изменения переменных [Ьо,9] и [0,Х] на части с шагами А и Ь, соответственно, введя точки Ьк = Ьо + к А, к = 0. М, хг = гЬ, г = 0. М. Будем считать, что величина т/А = т — целое число.

Приближения функций и(хг,Ьк), а(Ьк) в узлах будем обозначать через игк и ак, соответственно. При всяких фиксированных г = 0. N введём дискретную предысторию к

моменту Ьк, к = 0. М :