Практические занятия по математике для студентов 1 курса ПОО

2) уметь решать задачи с применением зависимостей между переменными в реальных процессах.

Дидактическое оснащение практического занятия: методические рекомендации к выполнению работы

Образец выполнения практической работы

Линейная функция. Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура Т (по Кельвину) связана с температурой t 0 C на шкале Цельсия формулой t = T + 273 0 C . Другой пример – напряжение в электрической цепи прямо пропорционально силе тока U = I · R . Рассмотрим задачу на линейное расширение тел.

Задача. При температуре 0 о С рельс имеет длину l 0 = 12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l ( t о ) = l 0 (1 + α t о ), где α = 1,2·10 –5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t о – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

Решение. Выразим из заданной формулы t : .

Квадратичная функция . Среди различных зависимостей, являющихся квадратичными функциями, можно отметить зависимость пути от времени при равноускоренном движении ( S = v 0 t +), зависимость мощности электрического тока при постоянном сопротивлении от силы тока ( Р = R ), зависимость площади круга от его радиуса ( S = π ) и т.д.

Задача. Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трeх метров?

Решение. Решим неравенство

t 1 = 1,4, t 2 = 0,2

0,2 ≤ t ≤ 1,4

Получили, что решением неравенства является интервал [0,2;1,4]. Здесь необходимо представить сам процесс полёта мяча. Мяч подбросили, через 0,2 секунды он достиг высоты 3 метра и полетел выше, далее начал падать. Через 1,4 секунды опустился до 3 метров и полетел ниже. То есть мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров от 0,2 до 1,4 секунды с момента броска. Значит промежуток времени нахождения на указанной высоте равен 1,4 – 0,2=1,2 секунды.

Показательная функция. Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. Описание радиоактивного распада связано с показательной функцией. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М 0 ·е -kt , где: Мо – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.

Задача. В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccа уменьшаетcя по закону , где — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени мг изотопа Z , период полураcпада которого T = 10 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 5 мг?

Решение. Подставим соответственные значения переменных в формулу:

Ответ: 30 минут.

Варианты практической работы

При температуре 0 о С рельс имеет длину l 0 = 19 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l ( t о ) = l 0 (1 + α t о ), где α = 1,2·10 –5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t о – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 5,7 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее шести метров?

В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccа уменьшаетcя по закону , где — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени мг изотопа Z , период полураcпада которого T = 8 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 39 мг?

При температуре 0 о С рельс имеет длину l 0 = 14 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l ( t о ) = l 0 (1 + α t о ), где α = 1,2·10 –5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t о – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 2,1 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccа уменьшаетcя по закону , где — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени мг изотопа Z , период полураcпада которого T = 5 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 12,5 мг?

При температуре 0 о С рельс имеет длину l 0 = 20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l ( t о ) = l 0 (1 + α t о ), где α = 1,2·10 –5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t о – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccа уменьшаетcя по закону , где — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени мг изотопа Z , период полураcпада которого T = 5 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 37,5 мг?

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать рассуждения по решению задач и необходимые вычисления.

Контрольные вопросы:

Какая величина называется переменной?

Сформулируйте определение функциональной зависимости.

Какая зависимость называется прямой пропорциональностью?

Является ли прямая пропорциональность линейной функцией?

Какие процессы описывает линейная функция?

Какая зависимость называется квадратичной? Какие процессы она описывает?

Какие процессы описывает показательная функция?

Приведите примеры зависимостей между переменными в реальных процессах.

Алимов, Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. / Ш.А. Алимов.- М.: Просвещение, 2015.

Башмаков, М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. / М. И. Башмаков.- М.: Академия, 2014.

Башмаков, М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. / М. И. Башмаков.- М.: Академия, 2014.

Башмаков, М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков.- М.: Академия, 2014.

Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. / М.: Просвещение, 2011

Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993.

Практическое занятие

Определение функций

Цель занятия: 1) знать определение функции, области определения функции и области значений функции;

2) уметь вычислять значение функции в заданной точке;

3) уметь находить область определения и область значений функции.

Дидактическое оснащение практического занятия: методические рекомендации к выполнению работы

Образец выполнения практической работы

Дана функция . Найти .

Чтобы вычислить значение , надо в данную функцию вместо аргумента подставить его значение . Имеем .

Найдите область определения функций: а) ; б) .

а) Дробь имеет смысл при тех значениях , при которых знаменатель ( не равен нулю. Решив уравнение , найдем его корень . Таким образом, областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме числа 5.

б) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому данная функция определена для всех значений , удовлетворяющих неравенству . Решив неравенство , получим .

Варианты практической работы

Найдите область определения функций: а) ; б) .

Для функции найдите и .

Найдите область определения функций: а) ; б) .

Для функции найдите и .

Найдите область определения функций: а) ; б) .

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ.

Контрольные вопросы:

Какое соответствие называется числовой функцией?

Каким образом обозначаются функции?

Что называется аргументом функции?

Что называется значением функции?

Дайте определение области определения функции.

Дайте определение области значений функции.

Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. / М.: Просвещение,

Практическое занятие

Построение и чтение графиков функций

Цель занятия: 1) знать понятие графика функции;

2) уметь определять положение точки на графике по ее координатам и наоборот;

3) уметь строить графики функций по заданным свойствам;

4) уметь определять свойства функции по ее графику.

Дидактическое оснащение практического занятия: методические рекомендации к выполнению работы

Образец выполнения практической работы

Для функции, график которой изображен на рисунке, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) точки пересечения графика функции с осями координат;

д) промежутки возрастания и убывания функции;

е) точки максимума и минимума функции;

ж) экстремумы функции.

а) область определения функции – [ -∞; +∞]

б) множество значений функции – [ -2; 2]

в) промежутки знакопостоянства функции - [ -∞; 0] [ 0; +∞]

г) точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ОХ – ( 0; 0)

с осью О Y – ( 0; 0)

д) промежутки возрастания функции – [ -3; 3]

промежутки убывания функции - [ -∞; -3] [ 3; +∞]

е) точки максимума и минимума функции – х max = 3 и х min = -3

ж) экстремумы функции – y max = 2 и y min = -2.

2. Начертите эскиз графика функции f .

а) f возрастает на промежутках [ -∞; -2] и [0; 3], убывает на промежутка [ -2; 0] и [ 3; +∞];

б ) х max = - 3, х min = 4, f ( - 3) = 5, f ( 4 ) = - 5.

Варианты практической работы

Для функции, график которой изображен на рисунке, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) точки пересечения графика функции с осями координат;

д) промежутки возрастания и убывания функции;

е) точки максимума и минимума функции;

ж) экстремумы функции.

Начертите эскиз графика функции f (х).

Б) f – четная функция, х max = -3, х min = 0, f ( - 3 ) = 4, f ( 0 ) = 0.

В) f – нечетная функция, х max = 2, х min = 5, f ( 2 ) = 3, f ( 5 ) = - 4.

А) х max = - 4, х max = 3, х min = - 1, f ( - 4) = 5, f ( 3 ) = 2, f ( - 1 ) = - 2.

Б) f – четная функция, х max = 0, х min = 4, f ( 0 ) = 2, f ( 4 ) = - 2.

В) f – нечетная функция, х max = - 1, х min = - 4, f ( - 1 ) = 1, f ( - 4 ) = - 3.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать рассуждения по решению задач, эскизы функций.

Контрольные вопросы:

Что называется графиком функции?

Какой симметрией обладает график четной функции?

Какой симметрией обладает график нечетной функции?

Дайте определение возрастающей функции.

Какая функция называется убывающей?

Дайте определение точки минимума функции. Что такое минимум функции?

Какая точка называется точкой максимума функции? Что такое максимум функции.

Какие точки считаются точками экстремума? Что такое экстремум функции?

Практическое занятие

Исследование функции

Цель занятия: 1) знать схему исследования функции;

2) уметь проводить исследование функции, заданной графиком;

3) уметь применять полученные сведения для построения графиков функций на основе предварительного исследования функции в соответствии со схемой.

Дидактическое оснащение практического занятия: методические рекомендации к выполнению работы

Образец выполнения практической работы

Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком

Область определения D ( f) = [ - 8; 5 ]

Область значений E ( f ) = [ - 2; 5 ]

а) Функция не является ни четной, ни нечетной

б) Функция не является периодической

График функции пересекает от ось Х в точках ( 1; 0 ) и ( 5; 0 ), а ось У – в точке ( 0; 2,5 )

f (x ) 0 при x [ - 8; 1 )

f ( x ) 0 при x ( 1; 5 )

Функция возрастает на [ - 5; - 1 ] и [3; 5 ], а убывает на [ - 8; - 5 ] и [ - 1; 3 ]

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎