14 Структурная устойчивость и бифуркации

Этот вопрос чрезвычайно важен с практической точки зрения. Допустим, мы имеем некоторый реальный процесс и хотим его исследовать. Для этого мы строим его математическую модель, исследуем эту модель математическими методами, делаем какие-то выводы и затем распространяем эти выводы на реальный процесс. При этом мы должны понимать, что модель есть лишь некоторое приближение к реальности и поведение реальной системы будет не в полной мере следовать предсказаниям модели. Тем не менее, мы хотели бы иметь возможность делать по крайней мере качественные выводы о поведении реальной системы на основе исследования модели. Когда это возможно?

Рассмотрим в качестве примера модель Лотки-Вольтерра. Пусть x — число лис и y — число кроликов. Тогда модель задаётся системой дифференциальных уравнений:

Можем ли мы сделать такой вывод про реальную систему, приближаемую нашей моделью?

Оказывается, нет. Тот факт, что все фазовые кривые являются замкнутыми, требует выполнения очень «жёстких» условий. Каждая траектория должна абсолютно точно попасть в то место, в котором находилась когда-то. Нетрудно поверить, что если мы чуть-чуть изменим векторное поле системы, повернув каждый вектор на очень маленький угол, фазовые кривые могут разомкнуться и превартиться в спирали, сходящиеся к положению равновесия или наоборот убегающие от него, см. рис. 14.1 . Свойства решений принципиально изменятся.

Системы, поведение которых на качественном уровне сохраняется при малых возмущениях, называются структурно устойчивыми. Чуть позже мы дадим более строгое определение.

14.1 Структурная устойчивость

Будем называть уравнение (14.1) невозмущённым. Рассмотрим теперь возмущённое уравнение, отличающееся от невозмущённого «маленьким» слагаемым:

Покажем, что на качественном уровне поведение возмущённой системы такое же, как невозмущённой. Формально это можно записать в виде следующего предложения.

Докажем её устойчивость. Поскольку | h ′ ( x ) | < 1 / 10 , f ′ ( x ) = − 1 + h ′ ( x ) < − 1 + 1 / 10 < 0 для любого x ∈ [ − 1 , 1 ] . Следовательно, f ′ ( x ∗ ) < 0 и особая точка асимптотически устойчива по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, которая обсуждалась в предыдущей главе.

Докажем, что особая точка единственна. Действительно, пусть есть какая-то другая особая точка. По теореме Ролля, между любыми двумя нулями функции f существует нуль производной. Но производная функции f отделена от нуля, как мы показали выше. Следовательно, особая точка единственна и все траектории стремятся к ней в прямом времени. ∎

Для начала, напомним, что такое гомеоморфизм.

f : [ 0 , 2 π ] → [ − 1 , 1 ] ,

f ( x ) = cos x не является гомеоморфизмом, поскольку не является биекцией.

Неверный ответ. Ой ли? А что насчёт обратного?

Верный ответ. Действительно, само отображение P является непрерывным, но обратное отображение P − 1 таковым не является: оно переводит близкие точки плоскости (например, ( 0 , 0 ) и ( cos ( − ε ) , sin ( − ε ) ) для маленьких значений ε > 0 ) в далёкие точки полуинтервала (первая точка переходит в 0 , вторая в 2 π − ε ).

В некотором царстве, некотором государстве, власть захватили военные и сотрудники спецслужб. И захотели они засекретить всё на свете. Особенно местоположение секретных объектов, каковых на каждом квадратном километре некоторого царства был вагон и маленькая тележка. Однако, простым жителям нужно было как-то ориентироваться на местности, а для этого им нужны были карты. Но по хорошей карте можно определить координаты любого объекта, в том числе — о, ужас — и секретного!

Что же делать? Без карт жить нельзя — люди не смогут обрабатывать поля и бурить скважины, экономика встанет, начнётся голод и революция. Но и с картами тоже нельзя — режим секретности нарушится и вероятный противник сможет получить ценные равзедданные в любом книжном магазине!

И вот что придумали. Хорошие, правильные карты были только в распоряжении военных. Для всех прочих печатались специальные «резиновые» карты. Настоящая карта наносилась на тонкий лист резины, затем этот лист растягивался в разные стороны и с этого растянутого листа происходила печать. Растяжение происходило неравномерно и линии на карте сильно искажались — это позволяло скрыть координаты объектов, сохраняя возможность по ней ориентироваться. Если по карте некоторый дом находится рядом с некоторой дорогой, то можно было ожидать, что и на местности он также находится не слишком далеко, и по дороге можно до него доехать — с практической точки зрения важно именно это. А вот определить точные координаты дома (чтобы, скажем, навести на него баллистическую ракету) уже невозможно.

Эта сказочка является иллюстрацией того, как гомеоморфизмы действуют на множества. Они могут искажать линии (и даже превратить, например, прямую в ломаную), но не могут «склеивать» разные точки в одну или «разрывать» непрерывные линии.

Неверный ответ. А что насчёт направления движения по траекториям?

Верный ответ. Именно так. У первого уравнения все траектории стремсятся к особой точке в прямом времени, а у второго — убегают от неё. Гомеоморфизм, переводящий траекторию в траекторию и особую точку в особую точку, не может поменять направление движения. Следовательно, орбитально топологической эквивалентности здесь нет.

Теперь мы можем сформулировать аккуратное определение структурной устойчивости.

1. во всех особых точках производная правой части не равна нулю;
2. вне некоторого отрезка I = [ − M , M ] правая часть отделена от нуля.

Первое условие является также необходимым: если оно нарушается, структурной устойчивости нет.

Фазовый портрет уравнения состоит из интервалов и лучей, на которые фазовое пространство (прямая) разбивается особыми точками, и самих особых точек. Вне отрезка I особых точек не было в исходном уравнении и не будет в возмущённом, если только потребовать, чтобы порядок малости возмущения был меньше C .

Из рассуждений, аналогичных утверждению 1 , следует, что на отрезке I у малого возмущения уравнения сохранятся все особые точки (может быть, слегка сместившись). Их устойчивость не меняется. Это означает, что направление движения по остальным фазовым кривым также сохраняется. Нетрудно построить гомеоморфизм прямой в прямую, который переведёт особые точки в соответствующие особые точки (например, его можно сделать кусочно линейным). Этот гомеоморфизм превратит фазовый портрет возмущённой системы в фазовый портрет исходной системы.

Необходимость мы доказывать не будем, но в следующем разделе обсудим один из возможных эффектов, возникающих, когда условие теоремы нарушается. ∎

Верный ответ. Например, ˙ x = e − x 2 подойдёт (и любая другая функция с нулевой горизонтальной асимптотой)