Определяющее уравнение приведенной системы. Теорема Ляпунова о корнях характеристических уравнений сопряженных систем
Уравнение (26) будем называть определяющимуравнением. Вспомним (см. выше), что систему уравнений с периодическими коэффициентами (5) можно неособенной линейной подстановкой с периодическими коэффициентами преобразовать в систему с постоянными коэффициентами (23). Так как при таком преобразовании корни характеристического уравнения не изменяются, то корни характеристического уравнения (5) совпадают с корнями характеристического уравнения системы (23). Найдем корни характеристического уравнения системы (23). Уравнения (23) допускают ФСР, распадающихся наmгрупп, таких, что первое решение в какой-нибудьp-й группе имеет вид:
Остальные решения этой группы могут быть получены из первого последовательным применением оператора к коэффициентам при . Например, второе решение указанной группы имеет вид:
Всего решений в p-й группе –np.
Таким образом, для каждой величины –αpполучается группа сnp решениями. Среди величин –α1,…, –αmмогут быть и одинаковые, так как по условию каждая из величин αpвыписывается столько раз, сколько групп решений соответствует корнюρkхарактеристического уравнения системы (18). Величины –αpявляются характеристическими показателями (см. выше), поэтому величины являются корнями характеристического уравнения системы (23)_ и эквивалентной ей системы (5). Корень характеристического уравнения системы (5) имеет такую же кратность, как и кореньρkхарактеристического уравнения системы (18). Этим корням в обеих системах отвечает одинаковое число групп с одинаковым числом решений в каждой группе. Сформулируем теорему, установленную Ляпуновым.
Теорема.Еслиρk– корень характеристического уравнения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами, то величина будет корнем характеристического уравнения сопряженной системы. При этом кратности обоих корней, числа групп решений, им соответствующие, и числа решений в соответствующих группах одинаковы.
Определяющее уравнение системы (23), очевидно, имеет вид:
Теорема.При преобразовании системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами в систему уравнений с постоянными коэффициентами корни определяющего уравнения преобразованной системы являются характеристическими показателями исходной системы.
Критерии устойчивости
Из общего вида решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами (см. выше) получаем следующие критерии устойчивости:
если Reчасти всех характеристических показателей отрицательны, то все решения стремятся к нулю при , значит асимптотически устойчивы;
eслиReчасть хотя бы одного характеристического показателя положительна, то система имеет частные решения, неограниченно возрастающие при и, значит, неустойчивость;
если Reчасти некоторых характеристических показателей отрицательны, а остальные равны нулю, то может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость, а именно: если характеристические показатели сReчастями, равными нулю, являются простыми, то соответствующие им решения будут ограниченными и невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически. То же самое справедливо и в случае кратных характеристических показателей сRe=0, если число групп решений, соответствующих таким показателям, равно их кратности;
если Rе αk=0, и кратность этого характеристического показателя αkпревышает число групп решений, ему соответствующих, то рассматриваемая система будет иметь решения, содержащиевековые члены.Вековые члены– члены видаt m φ(t),φ(t) – ограниченные функции времени. В этом случае невозмущенное движение – неустойчиво.
Сформулированные выше условия устойчивости для линейных уравнений с периодическими коэффициентами могут быть выражены следующим образом:
если все корни характеристического уравнения имеют модули, меньше единицы, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически;
если имеется хоть один корень с модулем, большим единицы, то невозмущенное движение неустойчиво;
если модули некоторых корней меньше единицы, а остальные равны единице, то невозмущенное движение может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Устойчивость будет иметь место тогда, когда все корни с модулями равными единице, будет простыми или когда они являются кратными, но кратность их равна числу отвечающих им групп решений. Если кратность хотя бы одного из корней с модулем, равным единице, превышает число соответствующих ему групп решений, то невозмущенное движение неустойчиво.
Справедливость этой формулировки следует из (11). Действительно, характеристическому показателю с Re<0 соответствует корень характеристического уравнения с модулем, меньшим единицы; характеристическому показателю сRe>0 соответствует корень характеристического уравнения с модулем, большим единицы; характеристическому показателю сRe=0 отвечает корень характеристического уравнения с модулем, равным единице.
- характеристическое уравнение рассматриваемой системы. Мы выразим условия устойчивости через корни этого уравнения. Можно выразить условия и через Ai. Сделаем подстановку:
Вспомним комплексный анализ.
Эта подстановка преобразует круг единичного радиуса с центром в начале координат плоскости комплексного переменного ρ в левую полуплоскость комплексного переменного λ.
Следовательно, условия устойчивости (модули всех корней уравнения (26) не должны превосходить единицы) выражаются следующим образом: для устойчивости необходимо, чтобы вещественные части всех корней уравнения (28) не были положительными. При этом, если же вещественные части все отрицательные, то будет асимптотическая устойчивость.
Таким образом, задача, так же как и для случая уравнений с постоянными коэффициентами, сводится к установлений условий отрицательности Reчастей всех корней алгебраического уравнения. Эти условия даются теоремой Гурвица. В отличие от случая уравнений с постоянными коэффициентами задача усложняется, так как коэффициентыAj(кромеAn), неизвестны. Более того, точные значения коэффициентов нам знать необязательно, так как условия устойчивости определяются неравенствами.
Следовательно, можно использовать различные приближенные приемы интегрирования для определения коэффициентов характеристического уравнения. Далее будем рассматривать основные приемы приближенного вычисления Корей характеристического уравнения.