ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ, ТЕРМОВЯЗКИХ И ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

1 Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Приоритетный национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа Санкт-Петербургского государственного политехнического университета ВА ПАЛЬМОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ТЕРМОВЯЗКИХ И ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений обучающихся по направлению подготовки «Прикладная механика» Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 008

2 УДК (0758) ББК Рецензенты: Академик РАН доктор физико-математических наук профессор Н Ф Морозов (ИПМАШ РАН) Доктор физико-математических наук профессор СПбГПУ А М Кривцов Пальмов В А Определяющие уравнения термоупругих термовязких и термопластических материалов: учеб пособие / В А Пальмов СПб: Изд-во Политехн ун-та с Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту и содержанию примерной учебной программы дисциплины «Теория упругости» К описанию поведения изотропных термоупругих термовязких и термопластических материалов применены законы и методы современной теории определяющих уравнений Продемонстрировано взаимное влияние тепловых и механических процессов Учебное пособие рекомендуется бакалаврам и магистрам высших учебных заведений обучающихся по направлению подготовки «Прикладная механика» Учебное пособие может быть полезно для студентов обучающихся по другим направлениям подготовки и специальностям техники и технологии в области машиностроения Работа выполнена в рамках реализации Инновационной образовательной программы Санкт-Петербургского государственного политехнического университета «Развитие политехнической системы подготовки кадров в инновационной среде науки и высокотехнологичных производств северо-западного региона России» Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт- Петербургского государственного политехнического университета Пальмов ВА 009 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет 009

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 6 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕРМОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА 8 Определения и термодинамические ограничения 8 Анализ определяющего уравнения теплопроводности в нелинейной термоупругости 3 3 Альтернативное построение определяющих уравнений термоупругого материала основанное на использовании комбинаций определяющих параметров в которую входит мера деформации Коши Грина 7 4 Другие формы представления тензора напряжений в нелинейной теории упругости 5 АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ДЕФОРМИРОВАНИЙ УПРУГОГО ТЕЛА 9 Простейшие деформации в несжимаемом нелинейно упругом теле 9 Одноосное растяжение цилиндра со свободной боковой поверхностью 9 3 Двухосное изотропное растяжение пластинки со свободными лицевыми поверхностями 3 4 Чистый сдвиг 3 5 Трехосное равномерное растяжение 34 3 ПРИМЕРЫ ПОТЕНЦИАЛОВ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 36 3 Простейшее обобщение потенциала линейной теории упругости потенциал Джона 36 3

4 3 Модифицированная мера деформации Коши Грина Группа потенциалов Муни Ривлина Упругий материал с потенциальной энергией в форме потенциала Огдена Другие представления потенциалов упругих материалов Общее рассуждение о возможной зависимости потенциалов упругости от температуры О вычислении параметров потенциалов упругости по результатам экспериментов 73 4 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОВЯЗКИХ МАТЕРИАЛОВ 76 4 Определение вязкого материала 76 4 Определяющие уравнения термовязкого материала и их предварительный общий анализ Определяющие уравнения изотропного вязкого материала Анализ определяющего уравнения термовязкого материала 88 5 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА 93 5 Особенности поведения пластических материалов 93 5 Условие текучести Сравнение норм используемых в теории пластичности Уравнения пластического течения 0 55 Определяющие уравнения термопластического материала 07 6 МАТЕРИАЛЫ С ЧИСТЫМИ СВОЙСТВАМИ 3 6 Предварительные соображения об учете взаимного влияния механических и тепловых процессов 3 4

5 6 Определяющие уравнения для изотропных материалов с чистыми свойствами: теплопроводность и теплоемкость упругость вязкость пластичность 6 63 Термоупругий материал 64 Термовязкий материал Несжимаемый термопластический материал 35 БИБЛИОГРАФИЧЕСКТЙ СПИСОК 37 5

6 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие посвящено применению основных принципов и положений современной теории определяющих уравнений к описанию материалов в поведении которых проявляется взаимное влияние механических и тепловых процессов Главный принцип этой теории все влияет на все Это означает что определяющие параметры тепловых процессов температура и ее градиент влияют на протекание механических процессов те на возникающие напряжения и обратно определяющие параметры механических процессов деформации влияют на протекание тепловых процессов В линейной теории такое взаимное влияние проявляется слабо Проявляется влияние нагрева на возникающие удлинения Обратное влияние удлинений на процесс теплопроводности обычно незаметно При больших деформациях такое взаимовлияние становится уже существенным Так что представляемые уравнения оказываются неминуемо нелинейными Поэтому областью применения описываемых ниже теорий являются такие явления в которых деформации твердых тел велики или велики градиенты скоростей течения жидкостей Первая глава посвящена нелинейной теории упругости Упругие материалы находят широкое применение Всякий инженерконструктор предпочитает чтобы вся конструкция находилась в упругом состоянии Появление пластических деформаций рассматривается как нежелательное явление приближающее конструкцию к разрушению Все сказанное накладывает ограничения на деформации: они должны быть малыми Но если деформации малы то можно с большим успехом применять линейный закон Гука хорошо известный из курса «Сопротивление материалов» Упоминание о нем содержится в разделе 8 учебного пособия [8] Зачем же тогда нужна эта глава целиком посвященная теории определяющих уравнений упругого материала? В ней будут получены и проанализированы определяющие уравнения нелинейных упругих материалов Потребность в такой теории возникает при конструировании резиновых изделий испытывающих большие деформации Это разнообразные уплотнения амортизаторы автомобильные шины и тд 6

7 Вторая и третья главы посвящены анализу поведения нелинейных упругих материалов и вариантов их описания Четвертая глава отведена рассмотрению термовязких и чисто вязких материалов Продемонстрировано что взаимное влияние течения и теплопроводности здесь проявляется наиболее сильно Пятая глава содержит описание поведения идеальных чисто пластических материалов Взаимное влияние термических и механических процессов учтено в последнем разделе этой главы Последняя глава посвящена рассмотрению определяющих уравнений материалов с чистыми свойствами теплопроводность упругость вязкость пластичность и их применению к конструированию определяющих уравнений материалов с комбинированными свойствами Описание поведения материалов с чистыми свойствами заимствовано из книг [] [4] Описание поведения сложных материалов заимствовано из [5] Наконец следует отметить что настоящее учебное пособие представляет собой логическое продолжение учебных пособий [6] [8] В связи с этим в тексте этого пособия содержатся ссылки на конкретные формулы этих пособий Поэтому для облегчения восприятия излагаемого материала рекомендуется предварительное изучение трех названных пособий 7

8 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕРМОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА Определения и термодинамические ограничения Определение Термоупругим называется такой материал у которого реакции σ h ψ и S зависят только от значений определяющих параметров в текущий момент времени t Это значит что весь термомеханический процесс не входит в определяющие уравнения Таким образом операторы в (5) из [8] заменяются функциями и определяющие уравнения принимают вид σ= σ( Γ F B) h = h( Γ F B) () ψ = ψ ( Γ F B) S = S( Γ F B) Изотропия материала позволяет исключить тензор поворота B из числа аргументов определяющих уравнений Действительно по условиям изотропии (34) из [8] формально заменяя операторы на функции в соответствии с (34) из [8] получим следующие уравнения σ( Γ F B) = σ( Γ F B H) h( Γ F B) = h( Γ F B H) () ψ ( Γ F B) = ψ ( Γ F B H) S( Γ F B) = S( Γ F B H) Но сюда входят все определяющие параметры в один только момент времени текущий момент t Это замечание относится и к тензору поворота B С другой стороны тензор начального поворота H постоянен но имеет произвольное значение В каждый момент времени подберем его так чтобы он был равен Но тогда получим H= B (3) B H= B B = E и определяющие уравнения () существенно упростятся 8

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( Γ F B) ( Γ F E) ( Γ F B) ( Γ F E) σ= σ Γ F B = σ Γ F E h = h Γ F B = h Γ F E (4) ψ = ψ = ψ S = S = S Эти равенства показывают что тензор поворота можно заменять на единичный тензор и даже вообще не записывать Так что число определяющих параметров сократилось и мы имеем ( ) ( ) ( Γ F) ( Γ F) σ= σ Γ F h = h Γ F (5) ψ = ψ S = S Обратимся теперь к универсальному диссипативному неравенству (9) из [8] σ D ρψ& ρs& h Γ 0 (6) Входящую сюда материальную производную свободной энергии находим по правилам дифференцирования сложных функций ψ& = ψ & + ψ Γ& + ψ F& (7) Γ F где введены обозначения ψ ψ k ψ = i = i ψ kil Γ Γk F Fkl Значение производной тензора Фингера находим по формуле (86) из [7] F& = ( D Ω) F+ F ( D+ Ω) Подставив этот результат в (7) получим ψ ψ ψ ( ( D Ω) F+ F ( D+ Ω) ) = ( ( D Ω) F) + ( F ( D+ Ω) ) F F F Стоящие в правой части двойные скалярные произведения преобразуем с помощью равенств (47) (48) из [6] 9

10 ψ ψ ( ( D Ω) F) = F ( D Ω) F F ψ ψ ( F ( D+ Ω) ) = F ( D+ Ω) F F Подставляя все эти результаты в (7) и далее в (6) приведем диссипативное неравенство к виду линейного неравенства относительно D Ω & и Γ & S A ψ ψ σ ρ F D+ ρ F Ω F F ψ ψ ρ + S & ρ Γ& h Γ 0 Γ Используя теорему из [8] о линейных неравенствах получаем следующие уравнения и неравенство S ψ σ ρ F = 0 (8) F A ψ F = 0 F ψ + S = 0 (9) ψ = 0 Γ h Γ 0 (0) Четвертое уравнение показывает что вектор градиент температуры Γ вообще не входит в представление свободной энергии так что имеем ψ = ψ ( F ) () Третье из полученных уравнений дает представление плотности внутренней энтропии ψ S = из которого видно что и последняя не зависит от градиента температуры так что S = S( F ) Обратимся наконец к первому уравнению Оно дает представление тензора напряжений Как видно оно также не зависит от градиента 0

11 температуры Однако из этого уравнения можно извлечь и больше Воспользуемся разложением тензора Фингера в его главном базисе F= e e F + e e F + e e F () () () () () (3) (3) 3 где F i главные значения тензора Фингера Внесем представление () в () и мы увидим что свободная энергия зависит от элементов спектрального разложения () те от F F F 3 e () e () e (3) Имеем ( FF F3 () () (3)) ψ = ψ e e e Но главные значения являются корнями характеристического уравнения 3 3 λ + I λ I λ + I = 0 где I k главные инварианты тензора Фингера Таким образом зависимость ψ от главных значений можно заменить на зависимость от главных инвариантов F Задумаемся теперь над тем как можно выразить зависимость от элементов базиса Учтем что речь идет об изотропном материале Это означает что в представление свободной энергии не входят никакие другие тензоры и векторы кроме элементов разложения А как может зависеть скаляр ψ от векторов e ( k)? Ответ прост: только через посредство скалярных комбинаций которые можно из них образовать Но базисные векторы e ( k) ортонормированы Значит e e ( k) ( l) = δkl Это только либо нули либо единицы Так что нет никакой необходимости указывать на эту зависимость Таким образом получаем ( ) ψ = ψ I I I 3 (3) Вычислим производную (3) по F Имеем по правилу дифференцирования сложной функции: ψ зависит от F через посредство его главных инвариантов Так что получаем ψ ψ di ψ di d I3 = + + ψ F I df I df I3 df Чтобы продвинуться дальше нужно вычислить производные инвариантов I k по тензору Фингера Имеем I = E F

12 Дифференцируя по времени найдем & I I = E F & = F & F Учитывая симметрию тензора F и приравнивая друг другу коэффициенты при F & находим d I df Далее имеем по (44) из [6] = E I I = F F Вычисляя производную по времени получим di di I F& F& = F F& + F& F= F F& df df Отсюда находим di di = F+ I = F+ I E df df Что касается производной I 3 то ее мы уже вычисляли Она дается формулой подобной () из [7] d I3 = I3F = I 3F df Результат всех этих вычислений таков ψ ψ ψ = E+ ( F+ IE) + I ψ 3 F (4) F I I I3 Наконец вычисляем комбинацию ψ ψ ψ ψ ψ F = I3 E+ + I F F F I3 I I I Легко увидеть что это симметричный тензор Так что ψ F = 0 F Таким образом условия (9) выполняются тождественно а уравнение (8) дает следующее представление тензора напряжений ψ ψ ψ ψ ρ σ = I3E+ I + F F (5) I3 I I I С учетом представления плотности по (8) из [7] находим окончательно A

13 ρ 0 ψ ψ ψ ψ σ = I3E+ + I F F I3 I3 I I I Это выражение представляет частный случай уравнения (49) из [8] Несомненно что оно удовлетворяет принципу материальной объективности Оно удовлетворяет также утверждению теоремы 3 из [8] об определяющих уравнениях изотропных материалов Подведем итог проведенному анализу Универсальное термодинамическое неравенство внесло существенные коррективы в предполагаемый вид определяющих уравнений (5) Оказалось что свободная энергия не зависит от градиента температуры Кроме того она оказалась производящей функцией как для плотности внутренней энтропии так и для тензора напряжений Анализ определяющего уравнения теплопроводности в нелинейной термоупругости Обратимся теперь к последнему ограничению которое дало универсальное термодинамическое неравенство Это неравенство (0) Это знаменитое неравенство Фурье для вектора теплового потока Оно декларирует: в термоупругом теле тепло не может самопроизвольно распространиться от холодных участков к горячим Вот и все! Никаких других ограничений на структуру вектора теплового потока оно не выставляет Вместе с тем в соответствии с нашим предположением (5) вектор теплового потока в термоупругом и изотропном материале в принципе может зависеть не только от температуры и ее градиента но и от меры деформации Фингера Выясним как выглядит такая зависимость в общем случае изотропного материала В соответствии с теоремой 3 из [8] никаких других тензоров в эту зависимость не должно входить Как же можно сконструировать вектор теплового потока из вектора градиента температуры Γ и меры деформации Фингера? Очевидно что в эту конструкцию должны входить векторы Γ = E Γ F Γ F Γ Линейная комбинация этих трех векторов может представить вектор теплового потока те 3

14 ( k k k ) h= E+ F+ F Γ (6) 0 Коэффициенты теплопроводности k i в общем случае изотропного материала могут быть функциями взаимных инвариантов системы двух объектов F и Γ Разберемся в этом вопросе Для этого зададим тензор Фингера в главном базисе () и в этом же базисе зададим вектор теплового потока Γ = e Γ = e Γ + e Γ + e Γ ( k) k () () (3) 3 Взаимными инвариантами системы F Γ очевидно будут F F F 3 Γ Γ Γ 3 Всего их шесть Их можно заменить например алгебраическими инвариантами I I I 3 Γ Γ Γ F Γ Γ F Γ Так что коэффициенты теплопроводности могут быть функциями температуры и этих шести инвариантов k i ( 3 Γ Γ Γ F ΓΓ F Γ ) = k I I I i Подставим разложение (6) в неравенство Фурье (0) Получим k Γ Γ k Γ F Γ k Γ F Γ (7) Поскольку коэффициенты теплопроводности k являются сложными функциями взаимных инвариантов выписать необходимые и достаточные условия выполнения (7) не представляется возможным А вот достаточные условия находятся легко Это условия ki 0 i= 3 Обсудим теперь вопрос о том какие процессы в термоупругом материале являются обратимыми а какие необратимыми В соответствии с определением обратимыми являются все процессы в термоупругом материале для которых неравенства (0) (7) выполняются со знаком равенства h Γ = 0 Это все процессы не связанные с переносом тепла В соответствии с тем же определением необратимыми являются всякие процессы в термоупругом материале для которых неравенства (0) (7) выполняются со знаком неравенства h Γ < 0 Это всякие процессы связанные с переносом тепла i 4

15 Составим наконец уравнение первого закона термодинамики (358) из [7] ρs& = σ D ρψ& ρs& + b h (8) Выше было найдено представление плотности внутренней энтропии ψ S = Продифференцируем это выражение по времени Получим S & ψ ψ = & F & F Произведение ψ F& F мы уже вычисляли Оно встречалось в (7) Результат этих вычислений таков ψ ψ = F & F F F D Сравнивая его с (8) находим следующее выражение ψ F& = σ D F ρ Подстановка его в выражение S & дает уравнение S& ψ = & ( σ D) ρ Наконец подставим это выражение в уравнение первого закона термодинамики (8) Учтем также что сумма подчеркнутых слагаемых в правой части обращается в нуль: точно такая же сумма уже встречалась ранее в диссипативном неравенстве (6) и там она обратилась в нуль В результате получаем ψ ρ & ( ) = b σ D h (9) Коэффициент при & занимает здесь место теплоемкости как в стандартном уравнении теплопроводности Поэтому целесообразно ввести обозначение S 5

16 ψ Cρ = и переписать уравнение теплопроводности (9) в следующем виде ρc& ρ ( σ D) = b h (0) Индекс ρ при коэффициенте теплоемкости обозначает что это теплоемкость в момент когда D = 0 те при ρ = const Уравнение (0) демонстрирует что механические процессы в термоупругом материале взаимодействуют с тепловыми при всяких деформациях а не только при объемных как это бывает в материалах при малых деформациях Используем введенное выше определение теплоемкости ψ Cρ = для вычисления плотности энтропии Для этого перепишем последнее равенство в следующей форме ψ Cρ = Если проинтегрировать обе части этого неравенства по и воспользоваться формулой для S получим ψ Cρ S = = d + A F * По третьему закону термодинамики находим что при 0 плотность энтропии S должна стремиться к нулю так что будем иметь 0 Cρ d + A ( F ) = 0 * Определив отсюда ( ) плотности энтропии получим ( ) t r A F и подставив результат в представление S = Cρ 0 d Во всех исследованиях этого раздела мы последовательно использовали тензор Фингера в качестве определяющего параметра Однако подобные исследования можно провести используя другие меры 6

17 деформаций Мы приводим ниже рассуждение основанное на использовании наиболее популярной меры деформации Коши Грина определяемой по (9) из [7] 3 Альтернативное построение определяющих уравнений термоупругого материала основанное на использовании комбинаций определяющих параметров в которую входит мера деформации Коши Грина Модель термоупругого материала играет важную роль в механике деформируемого тела Именно по этой причине мы приводим альтернативное построение определяющих уравнений термоупругого материала В логическом плане оно даже проще чем было в разделе Важно отметить что мы получим совершенно другие определяющие уравнения термоупругого материала Однако мы докажем что они эквивалентны уравнениям раздела в случае изотропии В соответствии со сказанным в заглавии этого раздела выбираем в качестве определяющих параметров комбинацию (4) из [8] Γ G O () Напоминаю что как и раньше абсолютная температура Γ ее градиент G мера деформации Коши Грина а тензор O тензор поворота из полярного разложения тензора градиента деформации (8) из [7] o r = O U= V O () Напоминаю также что здесь U и V правый и левый тензоры искажений С использованием комбинации определяющих параметров () уравнения термоупругого материала записываются так σ= σ( Γ G O) h = h( Γ G O) (3) ψ = ψ ( Γ G O) S = S( Γ G O) 7

18 Круглые скобки обозначают то что здесь речь идет о функциональной зависимости а не об операторной как в общем виде (7) из [8] Так же как в разделе используем универсальное диссипативное неравенство (6) σ D ρψ& ρs& h Γ 0 (4) Материальную производную свободной энергии материала находим по правилу дифференцирования сложной функции ψ& = ψ & + ψ Γ& + ψ G& + ψ O& Γ G O Значение производной от G находим по формуле (84) из [7] G o = r D r o & Это дает следующее представление скорости изменения свободной энергии ψ ψ ψ o o ψ& = & + Γ& + + ψ r D r O& Γ G O Используя правила тензорной алгебры (47) и (48) из [6] ( P) Λ = ( P Λ) = P ( Λ ) ( P Λ) = ( P) Λ= ( Λ ) P преобразуем третье слагаемое в этой сумме к следующему виду ψ o ψ = r D r o r o o G G r D В результате этого преобразования ψ& принимает следующий вид ψ ψ o ψ ψ o & = & + Γ& + + ψ r r D O& Γ G O Остается подставить это представление в универсальное диссипативное неравенство (4) Комбинируя однотипные слагаемые получим следующее неравенство o ψ o ψ σ ρ r r D ρ + S & G ψ ψ ρ Γ& ρ O& h Γ 0 Γ O (5) 8

19 В это неравенство величины D & Γ & и O & входят линейно Кроме этого примем во внимание что они могут принимать произвольные значения не зависящие от аргументов Γ G и O которые входят в коэффициенты По теореме о линейных неравенствах находим следующие необходимые и достаточные условия его выполнения при произвольных значениях линейно входящих аргументов D & Γ & и O & o ψ o σ ρ r r = 0 G ψ + S = 0 ψ = 0 (6) Γ ψ = 0 O h Γ 0 Может возникнуть недоумение по поводу того как из одного только неравенства (5) можно получить сразу четыре уравнения и еще одно неравенство Секрет этого феномена в том что неравенство (5) должно выполняться при произвольном термомеханическом процессе А таких процессов бесконечно много и для каждого из них можно записать неравенство (5) Фактически за одним неравенством (5) стоит бесконечное число неравенств Так что читателя не должно удивлять что мы получили всего только четыре уравнения и одно неравенство Вместе с тем это необходимые и достаточные условия и поэтому ничего большего из (5) извлечь нельзя Сделаем выводы из (6) Третье и четвертое уравнения показывают что свободная энергия не зависит от градиента температуры Γ и от тензора поворота O Таким образом третья строчка в (3) должна быть существенно упрощена и записана так ψ = ψ ( G ) (7) Из второго уравнения (6) находим 9

20 ψ S = = S( G ) (8) Наконец из первого уравнения (6) находим важную формулу для напряжений σ ψ = ρ r o o G r (9) Из уравнений (8) и (9) видно что свободная энергия оказалась производящей функцией для внутренней энтропии и для тензора напряжений Замечание Уместно обратить внимание читателя на то что формулы (7) (8) и (9) получены без привлечения требования изотропии материала Таким образом они справедливы для анизотропных термоупругих материалов а не только для изотропных каковыми были формулы раздела Итак второй закон термодинамики в форме универсального диссипативного неравенства внес существенные коррективы в структуру определяющих уравнений термоупругого материала Эти коррективы заданы соотношениями (7) (8) и (9) Обратимся теперь к требованиям принципа материальной объективности (9) из [8] Мы намерены доказать что первое третье и четвертое требования выполнены Начнем с третьего С учетом (7) оно имеет вид По (7) из [8] имеем ψ ( Q Q) = ψ ( ) G G (30) Q = (3) Далее обращаемся к уравнению (5) из [8] которое имеет вид ( ) ( ) rq = r0 t + Q r R t Отсюда легко находим o o rq = Q r (3) Мера деформации Коши Грина вычисляется по формуле (9) из [7] G o = r r o 0

21 Для образом Q движения эта мера деформации находится подобным же G o Q = Q Q r r o Если теперь учесть (3) то получим G o Q = = = r Q Q r o o r r o G (33) Принимая во внимание (3) и (33) убеждаемся что (30) выполнено тождественно Точно так же убеждаемся что выполнено и четвертое условие принципа материальной объективности ( Q GQ) = S( G ) S Обратимся теперь к первому условию (6) Очевидно имеем по (9) σ ψ Q Q = ρ Q Q r o o GQ r Учитывая (3) (30) и (33) легко убеждаемся в выполнении соотношений o ψ o o ψ o σq = ρ rq rq = ρ Q r r Q = G G o ψ o = Q ρ r r Q = Q σ Q G Итак и первое требование принципа материальной объективности выполнено тождественно Докажем теперь что в случае изотропного материала представление (9) может быть преобразовано к виду в точности совпадающему с (5) полученному при первом подходе Рассуждение начнем с выражения свободной энергии Очевидно что для изотропного материала она выражается через главные инварианты меры деформации Коши Грина Итак имеем тождество ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ = ψ G = ψ I G I G I G (34) 3 По аналогии с (4) получим значение производной ψ ψ ψ = E+ ( G+ IE) + I ψ 3 G G I I I 3

22 Подставив эту производную в уравнение (9) придем к соотношению o o ψ o o ψ σ = ρ r E r + I r G r I o o ψ o o ψ + r E r I + I 3 I r G r I3 Воспользовавшись формулами (9) и (0) из [7] o o G = r r o o F= r r вычислим входящие сюда комбинации o o r E r = F o o o o o o r G r = r r r r = F o o o o o o r G r = r r r r = E Подставив их в (35) получим очень похожее на (5) уравнение (35) ψ ψ ψ ψ ρ σ = I3 E+ I + F F (36) I3 I I I Остается напомнить что в (36) фигурируют главные инварианты меры деформации Коши Грина а в (5) главные инварианты меры деформации Фингера Но ведь они равны друг другу просто потому что в силу (38) из [7] равны их главные значения Таким образом выражение (36) полностью совпадает с (5) Обсудим теперь вопрос о векторе теплового потока в термоупругом материале Пока о нем известно очень мало Первое что известно записано во второй строке определяющих уравнений (3) ( ) h= h Γ G O (37)

23 Второе что известно это неравенство Фурье задаваемое пятой строчкой термодинамических условий (6) Третье что известно так это требование принципа материальной объективности (9) из [8] h Q h Q = Запишем его подробно используя представление (37) По (7) из [8] имеем а по (8) из [8] ( Q Q Q Q) = ( ) h Γ G O Q h Γ GO (38) Γ Q Q = = Q Γ Наконец по (33) находим G Q = G а по (3) и () еще одно соотношение O Q O Q = Учитывая все это в (38) получим ( ) = ( ) h Q Γ GQ O Q h Γ GO (39) Напоминаю читателю что сюда входит тензор Q который произвольным образом зависит только от времени так что Q= Q ( t) Остальные аргументы в (39) зависят и от времени и от материальной координаты R Важно иметь в виду что в (39) все аргументы зависят всего лишь от одного момента времени t : вся история термомеханического процесса сюда не входит! Поэтому для каждой материальной точки R можно подобрать такое Q при котором произведение Q O обратится в единицу Соответствующее Q таково Q O= E Q= O Подставив это значение в (39) получим Отсюда находим ( ) = ( ) h O Γ GE O h Γ GO ( ) = ( ) h Γ GO O h O Γ GE (40) 3

24 Таким образом зависимость от O выделилась явно Кроме того аргумент E в правой части является постоянным Его можно вообще не писать Чтобы продвинуться в своих рассуждениях дальше учтем изотропию материала Для изотропных материалов справедлива теорема 3 из [8]: в определяющие уравнения изотропного материала не входят никакие другие тензоры и векторы кроме тех тензоров и векторов которые являются определяющими параметрами либо такими тензорами которые являются изотропными тензорами четного ранга Это означает что в структуру функции (40) входят только тензоры и векторы которые указаны в (40) Рассмотрим только функцию стоящую справа те ( ) h O Γ G и зададим себе вопрос как может этот вектор зависеть от вектора O Γ и тензора G Подобный вопрос мы уже обсудили в разделе и пришли в результате к векторной функции (6) Применяя это разложение к рассматриваемому случаю получим разложение в котором 0 системы G и k ( ) ( k0 k k ) h O Γ G = E+ G+ G O Γ (4) k и k функции инвариантов и взаимных инвариантов O Γ и конечно же температуры те k i ( = k I I I Γ O O Γ i 3 Γ O G O Γ Γ O G O Γ Подставив (4) в (40) получим следующее разложение ( k k k ) 0 ) (4) h= O E O + O G O + O G O Γ (43) Легко заметить что здесь выделился тензор Фингера F и его квадрат F= O G O F = O G O Эти формулы легко следуют из (9) и (0) из [7] Таким образом можем переписать уравнение (43) в следующей форме ( k k k ) h= E+ F+ F Γ (44) 0 4

25 Легко увидеть что тензор Фингера выделился и в коэффициентах k i по (4) так что имеем k i ( 3 ) = k I I I Γ Γ F ΓΓ F Γ (45) i Остается напомнить что главные инварианты тензоров G иf равны друг другу так что можно считать что в (45) входят только инварианты и взаимные инварианты системы F Γ Результат всех рассуждений таков: выражение вектора теплового потока (44) совпадает с выражением (6) Прямой и альтернативный подход привели к одному и тому же результату 4 Другие формы представления тензора напряжений в нелинейной теории упругости Подведем промежуточный итог В разделе было получено представление (5) а в разделе 3 представление (9) для тензора напряжений Более того доказано что они эквивалентны Говоря более определенно доказано что для изотропного материала второе представление путем тождественных преобразований может быть приведено к первому Ниже мы приведем и другие тоже эквивалентные названным формы представления напряжений через свободную энергию Начнем с представления (5) или (36) Оно таково ψ ψ ψ ψ ρ σ = I3 E+ I + F F (46) I3 I I I Вспомним уравнение Кели Гамильтона для тензора Фингера 3 F + IF IF+ I3E = 0 и умножим обе его части на F Получим следующий результат F + IF IE+ I3F = 0 который позволяет выразить F Находим F = IF IE+ I 3F Подставляя это выражение в (46) получаем ψ ψ ψ ψ σ = ρ I3 + I E+ F I 3F (47) I3 I I I 5

26 Допустим что модуль объемного сжатия имеет большую величину Это означает что при I 3 величина I ψ оказывается очень большой 3 Последняя может оказаться ограниченной только при I 3 Обозначим p коэффициент при E в выражении (47) I ψ 3 I ψ p ρ = + I 3 I Тогда получим в (47) следующий предел ρ w w I σ = pe+ F 3 F ρ (48) 0 I I Здесь введено обозначение w = ρ 0 ψ Вновь появившуюся величину w называем потенциальной энергией единицы объема в недеформированном состоянии Неопределенная при I величина p конечно же не является давлением но определяет его 3 Воспользуемся теперь спектральными разложениями тензоров F и F (4) и (43) из [7] 3 V ( k) V ( k) Vk k = F= e e 3 = V ( k) V ( k) Vk k = F e e и получим координаты тензора напряжений в базисе левого тензора искажений e V ( k) σ ρ w w I kk 3 0 I k I k = p+ V V ρ Σ k (49) Напоминаю что V k главные значения левого тензора искажений V по (35) из [7] Представление (49) очень популярно в механике несжимаемого упругого материала для которого I 3 = Сосредоточим теперь свое внимание на случае когда потенциальная энергия w задана как функция главных значений тензора G ( ) w= ρψ = w U U U 0 3 6

27 Напомню что здесь U k главные значения правого тензора искажений В силу (38) из [7] они равны главным значениям левого тензора искажений Uk = Vk (50) Воспользуемся уравнением (9) σ ψ = ρ r o o G r и запишем его следующим образом σ = I3 r o P r o (5) где P второй тензор напряжений Пиола Кирхгофа w P = (5) G Свои вычисления начнем с (5) Для этого зададим тензор Коши Грина его разложением в главном базисе 3 U( k) U( k) Uk k = G U e e = = Вычислим производную в (5) в соответствии с ее определением w w P= = ikil G Gkl Тогда получим ( 3 ) 3 w U U U P= e e (53) U( k) U( k) k = Uk А теперь подставим этот результат в (5) и воспользуемся полярным разложением градиента места (8) из [7] Получим o r = O U 3 w σ = O U U( k) U( k) I e e 3 k = U U O (54) k Используя разложение (34) из [7] для правого тензора искажений 3 U( k) U( k) Uk k = U= e e преобразуем (54) к следующему виду 7

28 3 ( )( ) w σ = O eu( k) O e U( k) Uk I3 k = U k Появившиеся здесь векторы в силу (39) из [7] представляют базисные векторы левого тензора искажений e = O e V ( k) U( k) Таким образом мы пришли к искомой формуле 3 w V ( k) V ( k) Uk 3 k = U k σ = e e (55) I Отсюда легко находим значения главных напряжений в главном базисе левого тензора искажений σ kk = I 3 U k w U Эту формулу можно переписать и так k Σ k (56) w σ kk = Uk I3 U Σ (57) k k Таким образом получено еще одно популярное представление тензора напряжений в нелинейной механике 8

29 АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ДЕФОРМИРОВАНИЙ УПРУГОГО ТЕЛА Простейшие деформации в несжимаемом нелинейно упругом теле В этой главе будут представлены формулы для вычисления напряжений в упругих телах простейших форм при простейших состояниях деформирования Зачем нужны эти вообще говоря элементарные формулы? Они представляют второй шаг в проблеме идентификации параметров определяющих уравнений упругих материалов Напомню что эта проблема обсуждалась в общем виде в разделе 3 из [8] В этой главе будут рассмотрены четыре задачи: Одноосное растяжение цилиндрического стержня со свободной боковой поверхностью Двухосное изотропное растяжение прямоугольной пластинки со свободными лицевыми поверхностями 3 Чистый сдвиг прямоугольного параллелепипеда 4 Трехосное изотропное растяжение прямоугольного параллелепипеда Одноосное растяжение цилиндра со свободной боковой поверхностью Полагаем что цилиндр растягивается вдоль оси ox причем обозначаем U искажение вдоль этой оси Искажения вдоль двух других осей обозначаем U и U 3 соответственно и полагаем что эти искажения равны друг другу те U 3 = U () Отношение объемов материального тела после деформации и до деформации определяется формулой (68) из [7] dv dv = G () 9

30 Учитывая представление меры Коши Грина в ее главном базисе (34) из [7] получаем из () dv UU U3 dv = (3) Полагаем далее что материал несжимаем те что UU U 3 = (4) Учитывая условие деформирования () находим U = U 3 = U При таком состоянии деформации первый и второй главные инварианты принимают следующие значения I = U + U ( ) = U U + U3 + UU3 = U+ U I Подставляя значения главных искажений в (49) получим w w σ = p+ U U I I (5) w w σ = σ33 = p + U U I I Из выражений (5) следует что напряженное состояние однородно во всем растягиваемом цилиндре Поскольку боковая поверхность цилиндра свободна во всем цилиндре должно быть те σ σ = σ33 = 0 w w = = + = 0 σ33 p U U I I С помощью последнего уравнения мы можем определить неизвестную величину p и исключить ее из первого уравнения (5) Это приводит к следующему выражению напряжения действующего вдоль оси растяжения w w σ = ( U U ) + U I I (6) 30

31 3 Двухосное изотропное растяжение пластинки со свободными лицевыми поверхностями Полагаем что пластинка расположена так что растяжение ее происходит в плоскости xox причем искажения в обоих направлениях равны те U = U (7) Искажение U 3 вдоль третьей оси находим из условия несжимаемости материала UU U 3 = так что получаем U 3 = U Значения главных инвариантов меры деформации Коши Грина оказываются такими 4 I = U + U x3 4 = UU + U3 U + U = U + U ( ) I Подставляя значения главных искажений в (49) получим w w σ = σ = p+ U U I I (8) w w σ = p+ U U = I 0 I (9) Последнее уравнение отражает тот факт что лицевая поверхность = const свободна от напряжений те σ 33 = 0 Вычитая правые и левые части уравнения (9) из соответствующих частей уравнения (8) получим следующее представление действующего напряжения 4 w w σ = σ = ( U U ) + U I (0) I Из (0) видно что действующие напряжения постоянны в пределах всей пластинки 3

32 4 Чистый сдвиг Полагаем что в направлении оси ox деформирование отсутствует вообще А это означает что U = () Полагаем далее что искажение вдоль оси ox 3 обратно искажению в направлении оси ox те U 3 = U () Главные инварианты меры деформации Коши Грина имеют следующие значения в полном соответствии с () и () I = U + U + U U I = + + Далее для главных напряжений получаем следующие выражения w w σ = p+ U U I I (3) w w σ = p + I I (4) 33 w w σ = p + U U I I (5) Ни одно из этих напряжений не равно нулю так что в этом случае не удается исключить неизвестную величину p так как это делалось раньше Воспользуемся тем что характер деформирования подсказывает что если в направлении оси ox происходит растяжение то это значит что в направлении этой оси будет действовать растягивающее напряжение некоторой величины; ну а если вдоль оси ox 3 происходит сжатие той же интенсивности то это означает что в направлении этой оси действует сжимающее напряжение той же величины Так что можем положить σ33 = σ или σ33 + σ = 0 (6) Подставляя сюда напряжения по формулам (3) и (5) получим уравнение для определения p 3

33 w ( ) ( ) w p+ U + U I I U + U = 0 Отсюда находим ( ) w w p= U + U I I Подставив это значение p в (3) и (4) придем к следующим представлениям действующих напряжений ( U U ) w w σ = + (7) I I ( w w σ = U U ) I (8) I Оказалось что в направлении перпендикулярном плоскости сдвига тоже действует напряжение! Остается убедиться в том что сконструированное состояние деформации представляет действительно сдвиг: ведь при его конструировании мы оперировали только растяжениями и сжатиями Снова рассмотрим состояние деформирования определяемое формулами () () При таком деформировании текущая координата некоторой типичной материальной точки определяется следующим образом где xo x o и x o 3 o o o Ux x 3U x 3 r= i + i + i координаты начального положения этой точки o o o x x 3 x 3 R= i + i + i Вычислим градиент деформации или точнее градиент места U 33U r = i i + i i + i i и воспользуемся полярным разложением (8) из [7] o o (9) (0) r = O U= V O () Из двух последних уравнений (0) и () видно что рассмотренному состоянию деформирования соответствуют следующие значения тензора поворота и тензоров искажений U 3 3U O= E U= V = i i + i i + i i Тензор деформации Генки имеет значение 33

34 ( ) H= ln U= i i i33 i ln U () В плоскости xox3введем новые орты направленные под углом 45 к ортам i и i 3 Используем например следующие представления e= ( i+ i3) e 3 = ( i i 3) Обратные представления имеют вид i= ( e+ e3) i 3 = ( e e 3) (3) Подставив эти представления в формулу Генки получим H= (( e+ e3)( e+ e3) ( e e3)( e e 3) ) ln U После простых преобразований приходим к следующему результату ( ) H= ee3+ e3e ln U (4) В этом выражении тензора Генки диагональные элементы вообще отсутствуют Имеются только недиагональные элементы Но они ответственны за сдвиг! Так что (4) описывает сдвиг в повернутой координатной системе с ортами e i e 3 Таким образом выражение тензора Генки (4) оправдывает название деформированного состояния: чистый сдвиг 5 Трехосное равномерное растяжение Рассматриваем такое состояние деформирования при котором происходит одинаковое растяжение вдоль всех трех осей координат Это означает что искажения равны U = U = U 3 В этом случае главные инварианты меры деформации Коши Грина оказываются равными следующим величинам 4 6 I= 3 U I = 3 U I 3 = U Напряжения находим по формуле (47) 6 w w w 4 4 σ = σ = σ33 = 3 U + U ( U 3 U ) U I3 I I После упрощений получаем 34

35 w 4 33 w w σ = σ = σ = + U + U (5) U I I I3 С некоторым удивлением обнаруживаем что напряжение зависит не только от I 3 но и от всех остальных инвариантов: I и I 35

36 3 ПРИМЕРЫ ПОТЕНЦИАЛОВ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 3 Простейшее обобщение потенциала линейной теории упругости потенциал Джона В линейной теории упругости потенциальная энергия деформации принимается равной однородной квадратичной функции координат тензора малой деформации ε а именно ( ) w = λ ε E + μ ε ε (3) Положим что тензор малой деформации связан с тензором искажений следующим образом ε = U E (3) и тогда получим из (3) следующее выражение потенциала упругости λ w= (( U ) + ( U ) + ( U3 ) ) + (33) + μ U + U + U (( ) ( ) ( ) ) 3 Итак оказалось что потенциальная энергия представлена как функция главных искажений Поэтому напряжения следует вычислять по формуле (57) Это приводит к следующим результатам σ = U ( λ( U + U + U3 3) + μ( U )) I3 σ = U ( λ( U + U + U3 3) + μ( U )) I3 (34) σ33 = U3 ( λ( U + U + U3 3) + μ( U3 )) I3 Рассмотрим различные состояния деформации Одноосное растяжение Следуя рассуждениям раздела полагаем (см () и др) U = U3 σ = σ =

37 и в конце концов получаем следующее представление напряжений σ = ( ( ) ( ) ( )) I U λ U + λ U + μ U (35) 3 σ = σ = ( ( ) ( ) ( ) ) 0 I U λ U + λ U + μ U = (36) 33 3 Обращаю внимание читателя на то что принятые условия деформирования освобождает нас от принятия требования о несжимаемости материала которое было решающим в гл Из второго уравнения легко находим следующее значение ( U ) λ ( U ) U = ( λ + μ ) (37) Это выражение должно быть подставлено в (35) Однако прежде чем делать это запишем второе уравнение (36) в следующей слегка измененной форме 0 = ( ( ) ( ) ( )) I U λ U + λ U + μ U 3 Вычитая правую и левую части этого уравнения из соответствующих частей уравнения (35) для первого главного напряжения получим его упрощенное выражение σ = μu U U (( ) ( )) I3 И вот теперь уже можно подставить сюда ( ) следующее выражение μ λ σ = U( U ) + = I 3 ( λ + μ) μ 3λ + μ = U( U ) I 3 ( λ + μ) U по (37) Получаем (38) В линейной теории упругости показано что модуль упругости Ламе следующим образом выражается через модуль сдвига и коэффициент Пуассона μν λ = (39) ν 37

38 Использование его позволяет вычислить коэффициент входящий в (38) и это дает следующее выражение для действующего напряжения ( U ) U σ = μ( + ν) (30) I3 Появившийся здесь коэффициент равен модулю Юнга ( ) E = μ + ν (3) так что выражение для напряжения еще более упрощается и принимает следующий простой вид σ ( U ) Остается вычислить I 3 По определению имеем EU = (3) I I 3 = UU U3 что с учетом () и (37) приводит к следующему выражению 3 ( U ) ( λ + μ) λ I3 = UU = U Это выражение можно упростить используя (39) Результат этого упрощения таков ( ν ( U )) I = U (33) 3 Внося его в (3) получим окончательно σ = ( ) ( U ) EU ( ν ) (34) Проведем элементарный анализ этой формулы Во-первых полагая U = + ε где ε малая деформация и вычисляя асимптотическое значение в (34) получим σ = Eε Именно такие значения напряжения дает линейная теория упругости в задаче об одноосном растяжении цилиндрического стержня Это положительный факт Обратим внимание на второе свойство выражения (34): оно дает неограниченно большие значения для напряжения еще при конечных значениях искажения U а именно при значении 38

39 ( U ) ν = (35) Это свойство напряжения вызывает тревогу Ведь дальнейшее деформирование невозможно Обращаю внимание читателя на то что в силу (37) размер поперечного сечения цилиндрического стержня уменьшается А что будет с полной силой P вызывающей растяжение стержня? Ее найдем по следующей формуле U P= σ (36) Конечно это тоже напряжение но только напряжение отнесенное к единице площади начального поперечного сечения Вычисления дают идеально простой результат P= E( U ) Итак напряжение Коши возрастает неограниченно еще при конечной деформации (35) тогда как полное усилие вызывающее растяжение стержня с площадью начального сечения равной единице таким негативным свойством не обладает! Двухосное изотропное растяжение пластинки со свободной лицевой поверхностью По формулам (7) и (9) находим U= U σ33 = 0 Опять обращаю внимание читателя на то что требование несжимаемости не используется С учетом этих условий с помощью общих представлений напряжений получаем σ = σ = I U ( λ( U ) + λ( U3 ) + μ( U )) 3 σ = U λ U + λ U + μ U = 0 ( ( ) ( ) ( )) I3 Из второго уравнения находим ( U ) ( U ) ( U ) λ + λ 3 + μ 3 = 0 С помощью этого равенства во-первых упрощаем представление σ и получаем 39

40 μu σ = U U (37) (( ) ( ) ) 3 I3 и во-вторых находим искажение U 3 по формуле ( U ) λ U3 = λ + μ Внося это значение искажения U 3 в (37) получим ( U ) μu λ σ = + I3 λ + μ Упрощая это результат с помощью (39) находим σ = EU ( U ) ( ν ) I Наконец вычислим I 3 Результат таков 3 ( U ) (38) λ I3 = UU 3 = U = λ + μ (39) ν = U ( U ) ν Подставляя его в (38) приходим к следующему значению действующего напряжения ( ) EU σ = (30) ν U( ν ) ( U ) ν Проведем анализ этого выражения Во-первых полагая U = + ε получим следующее асимптотическое представление напряжения при малом ε Eε σ = ν Именно такое значение дает линейная теория упругости Это хорошо Второе на что следует обратить внимание это то что напряжение (30) может принять неограниченно большое значение при еще конечной деформации а именно при 40

41 ν U = ν Это негативный факт Однако легко увидеть что при этом значении искажение U 3 оказывается равным нулю те толщина пластинки стремится к нулю Опять дальнейшее деформирование невозможно! А к чему же стремится полное усилие отнесенное к единице площади нагруженной грани в начальном состоянии? Легко сообразить что оно равно P= σuu 3 или P = ( ) ( ν ) EU Это напряжение остается ограниченным Это тоже настораживает! 3 Чистый сдвиг Примем как и ранее условия деформирования сформулированные равенствами () () и (6) 3 33 U = U = U σ + σ = 0 (3) Обращаю внимание читателя на то что условие несжимаемости здесь активно используется поскольку I3 = Напряжения выражаем по формуле (57) и в конце концов получаем следующие выражения ( ( ) ( )) ( U U ) ( ) ( ) σ = U λ U + U + μ U σ = λ + ( ) σ = U λ U + U + μ U 33 (3) Подставив эти представления в силовое условие (3) получим уравнение λ ( U( U ) + U+ U ( U ) + U ( U) ) + + μ ( U( U ) + U ( U) ) = 0 Уже видно что в левой части выделился множитель ( U ) так что левая часть преобразуется к виду 4

42 ( ) 3 ( U ) λ( U )( U ) μu ( U ) + + = 0 Легко увидеть что в левой части выделяется еще один множитель ( U ) так что левая часть принимает вид ( ) ( U ) λ( U ) μu ( U U ) = 0 К странному выводу мы приходим разглядывая это уравнение: его решением является условие U = А это означает что предписанные равенствами (3) условия слишком жесткие Выше рассматривалось что кинематические условия деформирования таковы что выполняется условие несжимаемости UU U 3 = I 3 = В то же время материал Джона это материал сжимаемый В этом вероятная причина появившегося парадокса Что же делать? Изменим кинематическое условие деформирования так чтобы допускалась сжимаемость Отбросим первое ограничение и в результате заменим условия (3) на следующие условия 3 33 U = U σ + σ = 0 (33) Как видно теперь уже U Используя новые условия деформирования (33) найдем напряжения по формуле (57) Получим σ = U( λ( U + U + U ) + μ( U )) I 3 ( ( ) ( )) σ = U λ U + U + U + μ U I3 ( ( ) ( )) σ = λ μ 33 U U U U U3 I3 (34) Подставив эти значения в силовое условие (33) получим уравнение ( λ μ ) λ( )( ) ( ) ( ) ( ) U U + U U + U + + U + U U = 0 Из него находим искажение в направлении второй оси оси перпендикулярной плоскости сдвига 4

43 ( U ) μ = ( U+ U ) ( ) U U U U λ Подставив эти значения в (34) получим σ ( U ) U = μ + ( ) ( U U ) + U U U ( U ) = μ U U λ μ ( U U ) ( U U ) (35) (36) σ (37) + Проведем анализ полученных выражений Первое на что следует обратить внимание это то что чистый сдвиг в материале Джона сопровождается сжатием в плоскости перпендикулярной плоскости сдвига Второе на что следует обратить внимание это то что выражение напряжения σ содержит в знаменатела величину U которая в силу (35) имеет выражение ( U ) μ = U U λ ( ) U U U U + Последняя может обратится в нуль при некотором конечном значении искажения U Следовательно при этом значении искажения напряжение σ обращается в бесконечность Наконец положим U = + ε и вычислим асимптотическое разложение напряжения σ при ε 0 Получим σ = με Таким образом μ представляет собой модуль сдвига при малой деформации Это хорошо! А плохо то что этот материал обнаруживает парадоксальное поведение при конечных удлинениях 3 Модифицированная мера деформации Коши Грина При записи потенциалов упругости часто используется модифицированная мера деформации Коши Грина 43

44 Основу последующих рассуждений составляет формула () дающая представление отношения объемов некоторого элементарного параллелепипеда после деформации и до нее dv dv = G С помощью уравнения (3) находим dv UU U3 J dv = = (38) Рассмотрим теперь тождество 3 J 3 G = J E G (39) Это мультипликативное разложение меры деформации Коши Грина В нем появилось два тензора: 3 3 Gv = J E G = J G (330) Определитель первого тензора равен следующей величине G v = J Он представляет составляющую меры деформации Коши Грина связанную только с изменением объема при деформации Легко увидеть что определитель второго тензора в (39) равен единице Действительно G = J G = J J = (33) Он оказался вообще нечувствительным к изменению объема Значит он определяет все за исключением объема А что остается? Конечно форма! Значит тензор G определяет изменение формы малой окрестности некоторой материальной точки Поэтому он называется мерой деформации формоизменения Называют его также модифицированной мерой деформации Коши Грина Характеристическое уравнение U p G E = 0 (33) определяет главные значения модифицированной меры деформации Коши Грина Как связаны эти величины с главными значениями G? Чтобы ответить на этот вопрос подставим представление (330) в его характеристическое уравнение (33) Получим следующее уравнение 44

45 3 J G U p E = 0 Умножая все строчки определителя стоящего в левой части на получим p 3 3 J G U J E = 0 (333) Здесь получилось характеристическое уравнение (7) из [6] для меры деформации Коши Грина Но в силу соотношений (4) из [7] они равны U p Следовательно получаем или U p = p U J 3 3 Up = J Up (334) Соответствующие главные искажения связаны уравнением p 3 U = J U (335) Главные инварианты характеристического уравнения для G найдем по аналогии с (4) и (4) из [6] I = U + U + U 3 = UU + UU 3 + UU 3 I 3 = UUU 3 I Подставив сюда представление p U p по (334) получим 3 = J 4 3 = J I I I I J 3 I = I = (336) (337) Таким образом инварианты модифицированной меры деформации не содержат полной информации о мере деформации Коши Грина Ее содержит комбинация: I I J Поэтому рационально записывать потенциал упругости в функции этих аргументов те w= w II J (338) ( ) 45

46 Более того во многих случаях оказывается рациональным представлять w в виде суммы двух слагаемых w= w + w (339) в которой первое слагаемое является потенциальной энергией формоизменения те w ( ) = w II (340) а второе потенциальной энергией объемной деформации те ( ) = w w J Примеры таких представлений приводятся ниже 33 Группа потенциалов Муни Ривлина I Нео-гуков потенциал Это простейший из потенциалов группы он имеет вид μ w= ( I ) ( ) 3 + J (34) d Этот потенциал называют также потенциалом Муни или потенциалом Трелоара Он обычно используется в сочетании с условием несжимаемости J Рассмотрим последовательно одноосное растяжение цилиндрического стержня двухосное растяжение пластинки и наконец чистый сдвиг Одноосное растяжение цилиндрического стержня Имеем по уравнению (6) следующее выражение напряжения ( ) w w σ = U U + U I I Обращаю внимание читателя на то что условие несжимаемости ( J = ) уже учтено Но в силу (34) имеем w μ w = = 0 I I и тогда получаем следующее значение напряжения Если положить σ ( U U ) μ = (34) 46

47 U = + ε где ε деформация то получим следующее асимптотическое представление напряжения при малой деформации ( ( )) σ = μ + ε ε = 3 με Сравним это значение с тем что получилось бы по линейной теории упругости те σ = Eε (343) причем E модуль Юнга ( ) E = μ + ν (344) где μ модуль сдвига а ν коэффициент Пуассона Если учесть теперь что материал несжимаемый то получим из (344) ν = и тогда E μ = + = 3 μ По (343) находим значение напряжения σ = 3 με Точно такое же значение напряжения получено и в нашем анализе Осталось показать что μ в (34) имеет смысл модуля сдвига Это будет сделано ниже Двухосное изотропное растяжение пластины со свободными лицевыми поверхностями По формуле (0) имеем следующее выражение напряжений ( ) 4 w w σ = σ = U U + U I I Учитывая (34) находим 3 Чистый сдвиг Имеем по (7) и (8) σ σ 4 ( U U ) = = σ σ μ w w μ ( U U ) ( U U ) = + = I I w w μ ( U U ) ( U U ) = = I I 47