2.3. Вектор скорости. Средняя и мгновенная скорость.
вижения различных тел различаются тем, что тела за одинаковые промежутки (равные) времени проходят различные по величине пути. Для характеристики такого движения вводят понятие скорости.
1) Введем понятие среднейскорости( ) – это величина, равная отношению перемещения к тому промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло .
2) За малый промежуток времени tточка проходит путьS, совершая перемещение (рис. 2.6). Приt0 отношения и практически перестают изменяться как по величине, так и по направлению и стремятся к определенному пределу
который будет выражать вектор мгновеннойскорости, т.е. скорости в данный момент времени.
В математике данный предел называется производной, следовательно, скоростьможно определить как производную радиус-вектора движущейся точки по времени:
При бесконечном уменьшении tразличие междуSи будет уменьшаться и в пределе они совпадут, тогда можно записать, что модуль скорости
т.е. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.
Итак, вектор мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к траектории (и совпадает с направлением вектора перемещения) и численно равен первой производной пути по времени.
Единица измерения v: [v]=м/с.
Если рассматривать движение в пространстве, то величину и направление вектора скорости можно представить через проекции этого вектора на направления осей x,y,z(рис. 2.7).
– единичные вектора по осямx,y,z.
2.4. Путь при неравномерном движении.
а малый промежуток времениtперемещение графически изображается в виде прямоугольника, высота которого равна некоторому значению средней скоростиv(рис.2.8). Тогда для любого промежутка времени от 0 доtсуммируют все эти элементарные площадкиS, т.е. графически эта сумма представляет собой площадь фигурыABCD(vср.t). Чаще всего площадь фигуры дает нам также путь, пройденный при неравномерном движении (математически это записывается как предел).
Если v(t) =const, то движение равномерное,
v(t)const– то движение неравномерное.
2.5. Ускорение. Ускорение при равнопеременном и неравнопеременном прямолинейном движении.
При неравномерном движении необходимо знать закономерность, по которой скорость изменяется со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем и называемая ускорением « ».
усть материальная точка переместилась за малый промежуток времениtиз точки А, где она имела скорость в точку В, где скорость (рис.2.9). Приращение скорости точки есть вектор , равный разности конечной и начальной скоростей: .
тношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называетсясредним ускорением . Это понятие вводится для неравнопеременного движения.
Среднее ускорение направлено также как приращение скорости, т.е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости.
В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени t, по которому проводится усреднение. В пределе приt0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение по пути АВ превратится в мгновенное или истинное ускорение в точке А.
Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю.
Из выше приведенных формул следует, что ускорение измеряется в м/с 2 ; [а] = м/с 2 .
По модулю величина ускорения равна . Т.е. величина ускорения определяется первой производной скоростиvпо времени или второй производной пути по времени.
Если рассматривать движение тела в пространстве, то вектор ускорения можно представить через его проекции на осиX,Y,Z, аналогично как это делали для вектора .
Замечание: Следует помнить, что ускорение характеризует не только изменение модуля скорости, но и изменение направления вектора скорости. Например, равномерное движение по окружности является ускоренным из-за изменения направления вектора скорости с течением времени, хотя модуль скорости остается неизменным.
Рассмотрим частный случай ускоренного движения.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равноускоренным(a=const). В этом случае мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток времени. И тогда
В зависимости от поведения скорости со временем различают равноускоренное и «равнозамедленное» движения. Кавычки поставлены, чтобы подчеркнуть, что в любом случае движение происходит с постоянным ускорением.
1. Если а> 0, то движение равноускоренное. Из (2.3) следует, чтоv=v0+a(t-t0) и приt0= 0
при a> 0 скоростьvвозрастает. Направления и совпадают.
2. Если a< 0, то движение равнозамедленное и скоростьvуменьшается.
Зная зависимость vотtможно подсчитать путь, пройденный телом при равнопеременном движении (рис. 2.10).
Имеем v=v0+at, домножим наdt.
Интегрируем слева от 0 до S, справа от 0 доt. Получаем, что
Данная формула верна, если за время движения знаки начальной скорости и ускорения совпадают. Наклон прямой v0+atна рисунке 2.10 зависит от величины «а», чем «а» больше, тем больше угол наклона. «S» численно рано площади заштрихованной фигуры.