Презентация по теме: "Свойства окружности"

Презентация по теме: «Свойства окружности» Работу выполнила Ходырева Алина, ученица 9 «В» класса, тел. : 326-89-30 Южное окружное управление городского комитета образования ГОУ СОШ № 941, Бирюлево – Восточное ул. Лебедянская , д. 14, корп. 3 Тел. 329-86-94, sch941@sinergi.ru.rosoft Руководитель: Учитель математики: Малеева Елена Владимировна, тел. : 328-70-04 Руководитель учреждения: Мухина Татьяна Викторовна г. Москва 2011 г.

Что же такое окружность? Рассмотрим два определения окружности: '(1) Окружность' — геометрическое место точек плоскости , равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние , называемое её радиусом . '(2) Окружность' - Геометрическая фигура на плоскости, образованная множеством точек, равноудалённых от данной (её центра). Окружность и её центр

Основные термины Касательная Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку , называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. ( рис. 1 ) Хорда Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. ( рис. 2 ) Рис. 1 Рис. 2

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. (рис. 4) Свойства касательной 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. (рис. 3) Рис. 3 Рис. 4

Свойства хорд 1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. ( рис. 5) 2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. (рис. 6) Рис. 6 Рис. 5 3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD. ( рис. 7) Рис. 7

Свойства окружности Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки (секущая). Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры .

Теорема о касательной и секущей Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая , то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Теорема о секущих Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие , то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью 1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°. (Рис. 9 и 10) Рис. 9 и 10 2. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. (Рис. 11) Рис. 11

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр , равен 90° (Рис. 10) 4. Угол, образованный касательной к окружности и секущей , проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами . ( Рис. 11) Рис. 10 Рис. 11

Длины и площади 1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: C = 2 π R . 2. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: S = π R 2 . 3. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется о формуле: L = α R . 4. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в альфа радиан вычисляется по формуле: S = ½ R 2 α .

Вписанные и описанные окружности Окружность и треугольник: центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника , ее радиус r вычисляется по формуле: r = S/p где S — площадь треугольника, а p = ( a+b+c ) /2 — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров , ее радиус R вычисляется по формуле: R = 1/2 a/ sin альфа; R = abc / 4S здесь a , b , c — стороны треугольника, альфа — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника; центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы ; центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный .

Окружность и четырехугольники около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°: α + γ = β + φ = 180 °;

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон: a + c = b + d ;

около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником ; около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная ; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне; в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом .