научная статья по теме СХЕМА РИЧАРДСОНА МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ Математика

Текст научной статьи на тему «СХЕМА РИЧАРДСОНА МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 12, с. 2113-2133

К столетию со дня рождения академика А.А. Дородницына

СХЕМА РИЧАРДСОНА МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ1

© 2010 г. Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина

(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 25.05.2010 г.

Переработанный вариант 15.06.2010 г.

Рассматривается сеточная аппроксимация задачи Дирихле на прямоугольной области (по x, t) для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с возмущающим параметром б; е е (0, 1]. При малых значениях параметра s в окрестности боковой части границы области появляется параболический пограничный слой. Для начально-краевой задачи разрабатывается новый подход к построению s-равномерно сходящихся разностных схем повышенного порядка точности. С использованием техники асимптотических конструкций построена базовая схема метода декомпозиции сеточного решения, в которой сеточные регулярная и сингулярная компоненты являются решениями сеточных подзадач, рассматриваемых на равномерных сетках. Базовая схема сходится s-равномерно в равномерной норме со скоростью O(N-2ln2N + N01), где N + 1 и N0 + 1 — число узлов в пространственной и временной сетках соответственно. Применение техники экстраполяции Ричардсона к базовой схеме приводит к схеме повышенного порядка точности — схеме Ричардсона метода декомпозиции решения. Схема повышенного порядка точности сходится s-равномерно со

скоростью O(N-4ln4N + N02); при фиксированных значениях параметра схема сходится со скоростью O(N-4 + N02 ). Библ. 34.

Ключевые слова: параболическое уравнение реакции-диффузии, пограничный слой, метод декомпозиции сеточного решения, равномерные сетки, техника асимптотических конструкций, техника экстраполяции Ричардсона, разностная схема повышенного порядка точности, s-равномерная сходимость.

Математическое моделирование достаточно сложных процессов приводит к краевым задачам для дифференциальных уравнений, старшие производные которых содержат малый параметр (возмущающий параметр б). Решения таких задач проявляют характер пограничного слоя — резко изменяются в узких областях. Так, в задаче об обтекании тел потоком вязкой жидкости при больших числа Рейнольдса Re появляются параболические пограничные слои — слои, описываемые уравнениями параболического типа с параметром б = Re-1 (см. [1], [2]). Отметим, что научные интересы А.А. Дородницына включали исследования по численным методам механики сплошной среды и в том числе - по методам для задач обтекания тел потоком вязкой жидкости (см., например, [3], [4]).

При построении численных методов для сингулярно возмущенных задач необходимо учитывать их специфические особенности (см. [5]). Приведем некоторые из них. Так, слабые нормы Lb L2, как и энергетическая норма, непригодны для описания решений сингулярно возмущенных

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 10-01-00726).

задач; сингулярная компонента решения в этих нормах стремится к нулю при б —► 0, в то время как в равномерной норме она порядка 0(1). В сингулярно возмущенных задачах адекватной является лишь равномерная норма.

Характер поведения решений сингулярно возмущенных задач существенно зависит от типа возникающих пограничных слоев. В задачах конвекции-диффузии, в отличие от задач реакции-диффузии, члены дифференциального уравнения не являются 6-равномерно ограниченными в окрестности пограничного слоя (см., например, задачи из [6] и [7]). Как следствие, в случае задач конвекции-диффузии не существует таких сеток с конечным числом узлов, на которых для классических схем невязка (т.е. погрешность аппроксимации этих схем на решении дифференциальной задачи) 6-равномерно ограничена (см. [8]).

Ошибки стандартных численных методов (методов, разработанных для регулярных задач) становятся большими при малых значениях 6, причем их использование в случае равномерных сеток с малым шагом, обеспечивающим сходимость метода, приводит к потере 6-равномерной хорошей обусловленности сеточной задачи. Аппроксимации задач на основе метода конечных элементов не наследуют свойства монотонности дифференциальных задач, что приводит к появлению нефизических эффектов типа осцилляций и отрицательных "концентраций" вещества. Введение искусственной вязкости "размывает" пограничный слой; ошибка в пограничном слое становится величиной порядка самого решения.

В настоящее время при разработке специальных разностных схем, ошибки решений которых не зависят от величины параметра 6 (такие схемы называются 6-равномерно сходящимися, или робастными (см. [10]), используются метод подгонки (приводящий к схемам Ильина/Аллена— Саусвелла, см., например, [6], [9]) и метод сеток, сгущающихся в погранслое (использующий классические схемы на сетках Бахвалова, см. [7] и/или Шишкина, см. [5]). Так, классическая разностная схема на кусочно-равномерной сетке, сгущающейся в пограничном слое, в случае задачи Прандтля об обтекании плоской пластины (см. [1]) позволяет найти компоненты скорости потока и их нормированные производные, сходящиеся 6-равномерно с порядком скорости сходимости, близким к первому (см. [10]). Метод подгонки имеет ограничения в применении. Например, в случае задач с параболическим пограничным слоем метод подгонки оказывается неприменимым для построения 6-равномерно сходящихся схем (см. [10], [11]). Нередко в литературе рассматриваются разностные схемы, сходящиеся лишь при условии, когда возмущающий параметр 6 много меньше, чем эффективный шаг сетки (здесь характеризует число узлов сетки поперек пограничного слоя), и их также называют робастными, что не соответствует строгому определению робастности. Такие схемы относятся к условно 6-равномерно сходящимся и не являются робастными.

Развитие 6-равномерно сходящихся численных методов для задач с различного типа пограничными слоями потребовало разработки техники построения априорных оценок решений, адекватно отражающих поведение погранслойных особенностей в окрестности различных участков границы области. Техника построения таких априорных оценок на основе декомпозиции решения для многомерных задач, в частности для уравнений со смешанными производными, а также для уравнений с вектор-параметром, развиваемая в [5], [8] (эта декомпозиция решения получила в литературе название декомпозиция Шишкина, см., например, [12], [13]), позволила выявить различия в поведении частных производных составляющих сингулярной компоненты по различным направлениям и получить оценки, необходимые для обоснования 6-равномерной сходимости строящихся разностных схем. Заметим, что задачи обтекания тел при больших числа Рейнольдса Яе относятся к задачам в областях с характеристическими участками границы (оценки на основе декомпозиции решения для такого типа задач см., например, в [14]).

Строящиеся специальные 6-равномерно сходящиеся схемы имеют низкий порядок скорости сходимости. В случае краевых задач для параболических уравнений реакции-диффузии порядок 6-равномерной сходимости по пространственной и временной переменным, как правило, не выше второго и первого соответственно, а для уравнений конвекции-диффузии не выше первого; в случае эллиптических уравнений конвекции-диффузии и реакции-диффузии порядок 6-равномерной сходимости не выше первого и второго соответственно (см., например, [6], [7], [9], а также [5], [8], [10], [11], [15] и библиографию там же). Низкий порядок 6-равномерной скорости сходимости — существенное препятствие к использованию таких методов в практике. Таким образом, для сингулярно возмущенных задач разработка 6-равномерно сходящихся специальных численных методов повышенного и высокого порядка точности является актуальной.

Для повышения точности численных решений регулярных краевых задач хорошо разработаны методы дефект-коррекции и Ричардсона (см., например, [16]—[18] и библиографию там же), а также метод улучшения невязки в силу дифференциального уравнения (см., например, [19] и библиографию там же). Для сингулярно возмущенных задач с достаточно гладкими данными с использованием следующих подходов: (а) метода дефект-коррекции, (б) метода экстраполяции Ричардсона, (в) метода асимптотических конструкций — построены 6-равномерно сходящиеся схемы улучшенного порядка точности (см., например, [20]—[27], а также [5]). При негладких начально-краевых условиях совместное использование метода аддитивного выделения особенности (скажем, метод (г)), а также одного из методов (а)—(в) позволяет получить сходимость сеточного решения с улучшенным порядком точности (см., например, [5], [26] и библиографию там).

В методах (а)—(г) используются кус очно-равномерные сетки, сгущающиеся в окрестности пограничных слоев. При достаточно малых значениях параметра б шаг таких кусочно-равномерных сеток резко изменяется, что вызывает затруднения при построении схем высокого порядка точности. В случае начально-краевой задачи для параболического уравнения реакции-диффузии в [28] показано, что использование метода Ричардсона не позволяет построить схемы, сходящиеся б-равномерно уже с порядком скорости сходимости по х выше третьего. Для краевой задачи на вертикальной полосе для линейного эллиптического уравнения конвекции-диффузии не существует схемы Ричардсона, сходящийся 6-равномерно с порядком скорости сходимости по х1 выше второго (см. [29]). В этой связи возникает важная проблема: для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач разработать разностные схемы высокого порядка точности, сходящиеся 6-равномерно.

В настоящей работе для начально-краевой задачи для параболического уравнения реакции-диффузии разрабатывается новый подход к построению 6-равномерно сходящихся схем повышенного порядка точности; здесь в качестве базовой схемы применяется схема метода декомпозиции сеточного решения, использующая равномерные сетки, относящаяся к методу асимптотических конструкций. С использованием техники экстраполяции Ричардсона с

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.