Проблема инфракрасных расходимостей, квантово-полевая ренормализационная группа и аномальный скейлинг в статистических моделях развитой турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Антонов, Николай Викторович

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Антонов, Николай Викторович

Глава 1. РЕНОРМГРУППА В ЗАДАЧЕ О РАЗВИТОЙ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ОБОСНОВАНИЕ ВТОРОЙ ГИПОТЕЗЫ КОЛМОГОРОВА

1.1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса. Феноменология развитой турбулентности.

1.2. Квантово-полевая формулировка

1.3. ИК- и УФ-сингулярности диаграмм теории возмущений

1.4. УФ-ренормировка. Уравнения РГ

1.5. РГ-анализ стохастической гидродинамики. ИК-скейлинг

1.6. Решение уравнений РГ. Инвариантные переменные. РГ-представления корреляционных функций

1.7. ИК-скейлинг при фиксированных до и щ

1.8. ИК-скейлинг при фиксированных W и vq\ независимость от щ и "замораживание" критических показателей при £>

Глава 2. СОСТАВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, ПЕРВАЯ ГИПОТЕЗА КОЛМОГОРОВА

2.1. Ренормировка составных операторов. Использование уравнений Швингера и галилеевой инвариантности

2.2. Перестановочность процедуры ренормировки и преобразования Галилея для составных операторов

2.3. Исследование асимптотики т Ос помощью операторного разложения

2.4. Обоснование Первой гипотезы Колмогорова в интервале 0 < е < 2 с помощью инфракрасной теории возмущений.

2.5. Операторное разложение одновременного парного коррелятора

2.6. Критические размерности старших операторов

2.6.1. Критические размерности операторов канонической размерности

2.6.2. Ренормировка операторов вида dip • dip ■ dip • dip

2.6.3. Критические размерности операторов канонической размерности 8: Использование уравнений Швингера.

2.7. Решение уравнений РГ, замораживание критических размерностей и обоснование Второй гипотезы Колмогорова для составных операторов

2.8. Об отклонениях от колмогоровского скейлинга для составных операторов

Глава 3. РЕНОРМГРУППА В МНОГОЗАРЯДНЫХ МОДЕЛЯХ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: УЧЕТ АНИЗОТРОПИИ, СЖИМАЕМОСТИ И ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ

3.1. Критический скейлинг в задаче о развитой турбулентности сильно сжимаемой жидкости

3.1.1. Проблема обоснования гипотез Колмогорова для сжимаемой жидкости.

3.1.2. Постановка задачи. Квантово-полевая формулировка

3.1.3. УФ-расходимости и УФ-ренормировка

3.1.4. РГ функции, неподвижная точка и критические размерности

3.1.5. Решение уравнений РГ для парного коррелятора скорости. Эффективная скорость звука и число Маха

3.2. Ренормгруппа в теории двумерной турбулентности: Неустойчивость неподвижной точки относительно слабой анизотропии

3.2.1. Проблема устойчивости Колмогоровского режима для анизотропной турбулентности

3.2.2. Квантово-по левая формулировка и УФ-расходимости

3.2.3. РГ-функции и анализ устойчивости неподвижных точек

3.3. Влияние сжимаемости на спектры сильно анизотропной развитой турбулентности

3.3.1. Стохастическое уравнение для слабо сжимаемой жидкости

3.3.2. Квантово-полевая формулировка и уравнение РГ

3.3.3. Критические размерности составных операторов, определяющих поправки на сжимаемость

3.4. РГ в задаче о случайном росте границы раздела сред

3.4.1. Квантово-полевая формулировка. УФ-расходимости. Уравнения РГ

3.4.2. Расчет РГ-функций в однопетлевом приближении. Неподвижные точки. ИК-скейлинг

3.5. РГ в задаче о турбулентной конвекции пассивной скалярной примеси в случае нелинейной диффузии

3.5.1. Квантово-полевая формулировка. Анализ УФ расходимо-стей

3.5.2. Уравнения РГ. Расчет РГ-функций в однопетлевом приближении

3.5.3. Неподвижные точки. ИК-скейлинг

3.5.4. Решение уравнений РГ для корреляторов. Законы Ричардсона и Колмогорова.

3.6. РГ в задаче о турбулентной конвекции "химически активной" скалярной примеси

3.6.1. Стохастическое уравнение диффузии для самодействующей пассивной скалярной примеси.

3.6.2. УФ-расходимости и ренормировка модели

3.6.3. Уравнения РГ, РГ-функции и неподвижные точки для п = 2 и тг =

3.6.4. Ренормировка, неподвижные точки и линии кроссовера при d

Глава 4. РЕНОРМГРУППА, ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ И АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛЯХ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ПАССИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ПРИМЕСИ

4.1. Аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейчнана

4.1.1. Описание модели и формулировка результатов.

4.1.2. Квантово-полевая формулировка, ренормировка и уравнения Р Г

4.1.3. Ренормировка и критические размерности составных операторов

4.1.4. Операторное разложение и аномальный скейлинг

4.2. Обобщение модели Обухова-Крейчнана на случай сжимаемой жидкости

4.2.1. Точное решение для парной корреляционной функции

4.2.2. Ренормировка, уравнения РГ и РГ-функции

4.2.3. Операторное разложение и аномальный скейлинг в сжимаемом случае

4.2.4. О турбулентной конвекции пассивного магнитного поля

4.3. Турбулентное перемешивание пассивной скалярной примеси синтетическим полем скорости.

4.3.1. Постановка задачи и квантово-полевая формулировка

4.3.2. УФ-расходимости, ренормировка и уравнения РГ

4.3.3. Неподвижные точки и скейлинговые режимы

4.3.4. Критические размерности составных операторов дв---дв

4.3.5. Операторное разложение и аномальный скейлинг для структурных функций и других корреляторов.

4.3.6. Суммирование опасных вкладов степеней поля скорости

4.3.7. Экзотические скейлинговые режимы

4.3.8. Турбулентное перемешивание синтетическим полем скорости при наличии сжимаемости

4.4. Влияние крупномасштабной анизотропии на статистику поля пассивной примеси в инерционном интервале. Иерархия критических размерностей.

Глава 5. МЕТОД РГ ДЛЯ ТОЧНО-РЕШАЕМОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

5.1. Метод РГ для точно решаемых моделей и проблема конечных е

5.2. Описание модели. Параметр е. Проблема ИК- и УФ-сингу-лярностей

5.3. Уравнение РГ. РГ-функции. Неподвижная точка.

5.4. Решение уравнений РГ. Инвариантные переменные. ИК-асимптотика.

5.5. РГ-функции в схеме минимальных вычитаний

5.6. Обсуждение результатов.

Глава 6. ПРОБЛЕМА ИК-СУЩЕСТВЕННЫХ ПОПРАВОК К УРАВНЕНИЮ НАВЬЕ-СТОКСА

6.1. Метод РГ и проблема инфракрасно существенных поправок к стохастическому уравнению Навье-Стокса.

6.2. Формально и реально ИК-существенные параметры

6.3. Следствия галилеевой инвариантности. Поправки вида Х7?(рт

6.4. Поправки, связанные с составными операторами канонической размерности

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема инфракрасных расходимостей, квантово-полевая ренормализационная группа и аномальный скейлинг в статистических моделях развитой турбулентности»

Диссертация посвящена исследованию проблемы инфракрасных расходимостей и аномального скейлинга в статистических моделях развитой гидродинамической турбулентности и турбулентной конвекции методами квантовой теории поля (функциональные методы и диаграммная техника, теория ренормировок и ренормализационная группа, операторное разложение, инфракрасная теория возмущений).

Как признается во многих современных работах, теоретическое описание развитой турбулентности пока остается в основном не решенной задачей. Большинство аналитических теорий турбулентности приходится рассматривать скорее как полуфеноменологические модели, чем как приближения в том смысле, что они не являются приближениями конечного порядка в некоторой регулярной теории возмущений по малому параметру для какой-либо последовательной микроскопической модели типа стохастического уравнения Навье-Стокса.

Одной из наиболее характерных открытых проблем теории остается обоснование в рамках микротеории феноменологической теории Колмогорова-Обухова и исследование отклонений от нее, если таковые имеются; подробнее см. в Гл. 1 и 2 и монографиях [34]—[37]. В частности, обсуждается поведение одновременных структурных функций

Sn(r) = (Их) - г>(х')Г, г = |х - x'l (В.1) в инерционном интервале расстояний L >> г » I, где L — характерный внешний (интегральный) масштаб задачи, I — вязкий (кол-могоровский) масштаб и v — некоторая компонента поля скорости. Согласно классической теории Колмогорова-Обухова, величины (В.1) не зависят от обоих масштабов и определяются единственным параметром W, средней скоростью диссипации, что позволяет найти их из соображений размерности с точностью до числовых множителей:

Известны экспериментальные и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. Для функций (В.1) они феноменологически записываются в виде

const (Wr)n/* (r/Lfn (В.З)

Сингулярная зависимость структурных функций от L с некоторыми нелинейно зависящими от п показателями qn < 0 обычно называется "аномальным скейлингом" и объясняется явлением "перемежаемости" — сильно развитыми флуктуациями скорости локальной диссипации [34]-[37]. В рамках многочисленных моделей, обзор которых можно найти в [37] (см. также ссылки в разд. 2.8), показатели qn связываются со статистическими свойствами локальной диссипации или с фрактальной размерностью структур, образуемых мелкомасштабными турбулентными вихрями. Как правило, все эти модели носят полуфеноменологический характер, слабо связаны с исходными уравнениями гидродинамики и включают произвольные подгоночные параметры, так что остаются серьезные сомнения в универсальности представлений типа (В.З) и самом существовании отклонений от (В.2).

Надежды на построение последовательной количественной теории турбулентности связываются [38], [39] с использовании кванто-во-полевых методов, в особенности — метода ренормализацион-ной группы (РГ).

Как хорошо известно, метод РГ, развитый первоначально в рамках квантовой теории поля в связи с потребностями физики элементарных частиц, был с успехом применен в начале 70-х годов в работах К. Вильсона и других авторов (см. книгу [40] и ссылки в ней) в теории критических явлений для обоснования критической масштабной инвариантности в инфракрасной области (скейлинга) и вычисления универсальных характеристик критического поведения (критические индексы и нормированные скей-линговые функции) в форме ^-разложений. Впоследствии метод РГ был обобщен и на другие задачи, для которых характерна масштабная инвариантность (скейлинг) в инфракрасной области: критическую динамику, случайные блуждания, физику полимеров и, наконец, теорию развитой гидродинамической турбулентности; см. обзор [41], монографии [42]—[45] и ссылки в них.

Ренормгрупповой подход к теории турбулентности имеет более долгую и, возможно именно по этой причине, менее счастливую историю. Основные положения теории Колмогорова Обухова были сформулированы еще в начале 40-х годов, более чем за 20 лет до гипотезы подобия в теории критического поведения (см. [42]) а первые серьезные попытки применения аппарата РГ к турбулентности [46]—[49] относятся к концу 70-х — началу 80-х годов, когда РГ-теория критического поведения была уже в основном завершена.

Вскоре стало ясно, что, несмотря на сходство терминов, аналогия между явлениями аномального скейлинга в задачах критического поведения и турбулентности является далеко не полной из-за существенно различной физической природы этих явлений. С формальной точки зрения это проявляется, в частности, в том, что дополнительный множитель гЧп в (В.З) обезразмеривается инфракрасным (а не ультрафиолетовым, как для критического скейлинга) масштабом Ь. В РГ-теории турбулентности возник целый ряд новых проблем, с которыми не имели дела в теории критического поведения: "замораживание" критических размерностей, "опасные" составные операторы с отрицательными размерностями и др. Решение этих проблем и обоснование представлений типа (В.З) требует выхода за рамки е-разложений и оказывается возможным при использовании вместе с РГ дополнительных методов — операторного разложения, функциональных уравнений типа Швингера-Дайсона, инфракрасной теории возмущений и др.

В отличие от теории критического поведения, аппарат РГ в теории турбулентности используется в виде различных достаточно далеких друг от друга формализмов (квантово-полевая РГ, ре-курсионные соотношения Вильсона, итерационное усреднение по модам околосеточных масштабов), что крайне затрудняет взаимопонимание работающих в этой области специалистов. Поэтому в настоящей работе систематически используется стандартная квантово-полевая техника РГ, имеющая надежную базу в форме квантово-полевой теории ренормировки и хорошо развитых методов расчета РГ-функций и критических размерностей (аналитическая регуляризация, схема минимальных вычитаний и т.п.) и подробно излагаются не только физические результаты, но и сам аппарат РГ.

РГ-анализ статистической модели турбулентности состоит из двух основных этапов (подробнее см. Гл. 1 и 2). На первом этапе задача переформулируется в виде некоторой квантово-полевой модели, проверяется ее мультипликативная ренормируемость и выводятся уравнения РГ. Асимптотическое поведение различных корреляционных функций в области Ь,г >> I определяется инфракрасно (ИК) устойчивыми неподвижными точками этих уравнений. В частности, для функций (В.1) это позволяет получить представление вида

(I(В.4) с некоторыми скейлинговыми функциями Рп(Х/г), вид которых не находится непосредственно из уравнения РГ. Отметим, что каковы бы ни были эти функции, представление (В.4) означает наличие скейлинга (масштабной инвариантности) с определенными (критическими) размерностями всех ИК-существенных величин (именно, А[Ь] = Д[г] = —1, А[5„] = —п/3) при фиксированных несущественных (Д[Г| = Д[ТГ] = 0). Сказанное означает, что функции (В.4) при согласованном растяжении г —АлМ'г, Ь —► Лл^г и фиксированных ЦТ, I ведут себя как —> А^^б^ при любых Еп и Л > 0. Именно это свойство (называемое в дальнейшем ИК-скейлингом) аналогично критическому скейлингу в теории фазовых переходов. Тем самым, показатели дп в (В.З) не имеют отношения к критической размерности самой функции Бп. Отметим, что простой вид критических размерностей Д[- • •] в данном случае является следствием некоторых точных соотношений между РГ функциями модели, а в общем случае такие размерности вычисляются в виде бесконечных рядов по "параметру отклонения от логарифмичности" е. В теории фазовых переходов обычно е = 4 — с!, где <1 — размерность пространства [40], тогда как для турбулентности е не связан с (I и определяется, например, видом коррелятора случайной силы в уравнении Навье-Стокса (подробнее см. разд. 1.1).

Поведение скейлинговых функций Гп(Ь/г) при Ь » г исследуется с помощью операторного разложения, см. Гл. 2, и имеет вид

Ь/г) (В.5) ф где суммирование идет по всевозможным составным операторам

Ф с критическими размерностями Д[Ф] (точнее см. в Гл. 2). В моделях критического поведения всегда Д[Ф] > 0, и функции типа (В.5) конечны при Ь —► со.

Отличительной чертой большинства моделей развитой турбулентности является присутствие составных операторов с отрицательными критическими размерностями Д[Ф] < 0 [4]. Вклады таких операторов (названных в [4] "опасными") в операторные разложения типа (В.5) и порождают сингулярную зависимость от Ь при Ь —► со.

Проблема состоит в том, что опасные операторы для стохастического уравнения Навье-Стокса возникают лишь при некоторых конечных значениях е, поэтому, оставаясь в рамках е-разложения, затруднительно судить о том, является ли данный оператор опасным и, тем более, перечислить все опасные операторы и предъявить их размерности. Кроме того, практический расчет размерностей операторов даже в низших порядках е-разложения — довольно громоздкая задача, в частности, из-за их смешивания при ренормировке.

Поэтому особый интерес приобретают методы (основанные на функциональных уравнениях Швингера и тождествах Уорда, выражающих галилееву симметрию задачи) позволяющие сократить такие вычисления, а в некоторых случаях — найти размерности операторов точно (см. Гл. 2).

Другая сложность состоит в том, что опасные операторы всегда возникают в виде бесконечных семейств с не ограниченным снизу спектром размерностей (нет самого опасного, см. разд. 2.5). Если все они дают вклад в данную корреляционную функцию (В.5), для нахождения асимтотики Ь —»■ со все их вклады необходимо как-то суммировать. В ряде случаев подобное суммирование удается выполнить с помощью т.н. инфракрасной теории возмущений (см. разд. 2.3 и 4.3). Например, суммирование наиболее сингулярных вкладов в разновременных корреляционных функциях для стохастического уравнения Навье-Стокса выявило существенную зависимость их от Ь и быстрое (сверхэкспоненциальное) убывание при увеличении разностей времен, физически связанное с известными "эффектами переноса" (см. разд. 2.3 и работы [4, 9]). В другом случае подобное суммирование для одновременных кох>-реляторов приводит к степенной зависимости от Ь (см. разд. 4.3 и работу [28]).

В связи с перечисленными выше и некоторыми другими проблемами (возможность подмены ¿-образной функции накачки степенной функцией, существование конечного предела при е->2и корректный переход к такому пределу) возникающими в РГ-теории турбулентности, особый интерес представляют упрощенные модели, допускающие, с одной стороны, точное решение, а с другой — доступные РГ-анализу, как например модель Гейзенберга (см. Гл. 5) и целый ряд моделей турбулентного переноса пассивной скалярной примеси полем скорости с заданными статистическими свойствами, демонстрирующих явление аномального скейлинга в смысле (В.З), см. Гл. 4.

Перейдем теперь к обсуждению диссертации по главам. Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения и Приложения; все главы разбиты на разделы; для большего удобства некоторые из них разбиты на подразделы. Ссылка на раздел без указания главы означает раздел данной главы.