Связь производной с возрастанием/убыванием функции

Заметим, что обратные утверждения неверны. То есть если функция строго возрастает на каком-то промежутке, то из этого не следует, что на всем этом промежутке ее производная будет положительной. Например:

функция \(f(x)=x^3\) на отрезке \([-1;1]\) строго возрастает, но ее производная не положительна всюду: в точке \(x=0\) ее производная \(f'(0)=0\) (т.к. \(f'(x)=3x^2\) ).

\(\blacktriangleright\) Если функция не убывает (возрастает и/или константа) на промежутке \((a;b)\) , то на этом промежутке ее производная неотрицательна ( \(\geq 0\) ). Верно и обратное утверждение.

\(\blacktriangleright\) Если функция не возрастает (убывает и/или константа) на промежутке \((a;b)\) , то на этом промежутке ее производная неположительна ( \(\leq 0\) ). Верно и обратное утверждение.

\(\blacktriangleright\) В точках излома (на рисунке это точки \(A\) и \(B\) ) производной не существует.

Заметим, что на промежутке \((4;+\infty)\) производная \(f'(x)=0\) , т.к. на этом промежутке функция является константой ( \(f(x)=10\) ).

Пример: найдите количество точек, в которых производная равна нулю, если на рисунке дан график функции:

Производная равна нулю в точках \(A,B,D\) , а в точке \(C\) она не существует, т.к. это точка излома.

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\) . Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

Для функции \(f(x)\) , у которой производная в точке \(x_0\) существует, \(f'(x_0) > 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\) .

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f(x)\) возрастает только в \(1\) , \(2\) и \(4\) . Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) положительна в \(3\) целых точках.

Для функции \(f(x)\) , у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, \(f'(x_0) < 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\) .

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(0\) , \(2\) и \(3\) . Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(3\) целых точках.

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-0,5; 4,1)\) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

На интервале \((-0,5; 4,1)\) целыми являются точки \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(2\) и \(4\) . Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(2\) целых точках.

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-0,6; 4,8)\) . Найдите промежутки возрастания функции \(y = f(x)\) . В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции \(f(x)\) , у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) > 0\) .

На интервале \((-0,6; 4,8)\) целыми являются точки \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f'(x)\) положительна только в \(1\) и \(3\) . Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно \(3\cdot 1 = 3\) .

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-1,5; 4,5)\) . Найдите промежутки возрастания функци \(y = f(x)\) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На интервале \((-1,5; 4,5)\) целыми являются точки \(-1\) , \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f'(x)\) положительна только в \(-1\) , \(0\) и \(1\) . Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна \(-1 + 0 + 1 = 0\) .

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-1,5; 4,5)\) . Найдите промежутки убывания функции \(y = f(x)\) . В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции \(f(x)\) , у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) < 0\) .

На интервале \((-1,5; 4,5)\) целыми являются точки \(-1\) , \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(3\) , \(4\) . Среди этих точек \(f'(x)\) отрицательна только в \(-1\) , \(0\) , \(1\) и \(2\) . Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно \(4\) .

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\) , определенной на интервале \((-1,5; 4,6)\) . Найдите промежутки убывания функции \(y = f(x)\) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

По рисунку видно, что \(f'(x)\) отрицательна на промежутках \(-1 < x < 2\) и \(3 < x < 4\) , тогда \(y = f(x)\) убывает на промежутках \(-1 < x < 2\) и \(3 < x < 4\) , из которых наибольшую длину, равную \(3\) , имеет промежуток \((-1; 2)\) .

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎