Сила давления на криволинейную поверхность

Внутри жидкости расположена криволинейная поверхность . Координатные оси 0x и 0y расположены в плоскости свободной поверхности жидкости. Ось 0z направлена вертикально вверх.

Равнодействующая сил давления на криволинейную поверхность Fкр равна:

где Fсв - сила внешнего давления, передаваемая на криволинейную поверхность по закону Паскаля

F - сила давления самой жидкости на криволинейную поверхность.

где pсв - внешнее давление;

- площадь смоченной криволинейной поверхности.

Сила давления жидкости

Сила давления жидкости на криволинейную поверхность равна:

где - горизонтальные проекции;

Направление линии действия силы F определяется по направляющим косинусам:

cos = ; cos = ; cos = ,

где , , - углы наклона силы F к координатным осям.

Горизонтальные и вертикальную составляющие силы F определяют по формулам:

где x - проекция криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

y - проекция криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

hсx - глубина погружения центра тяжести проекции x под уровень свободной поверхности;

hсy - глубина погружения центра тяжести проекции y под уровень свободной поверхности;

V - объём тела давления.

Горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную поверхность и равны силе давления на вертикальные проекции этой поверхности x и y.

Вертикальная проекция равна весу жидкости в объёме тела давления.

Тело давления

Тело давления - объём вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность и ограниченного плоскостью свободной поверхности или её продолжением.

Тело давления может быть действительным, если оно заполнено жидкостью. В этом случае тело давления и жидкость расположены по одну сторону от криволинейной поверхности. При действительном теле давления вертикальная составляющая направлена вниз. Фиктивное тело давления не заполнено жидкостью. Тело давления и жидкость расположены по разные стороны от криволинейной поверхности. Вертикальная составляющая направлена вверх.

Горизонтальные составляющие и проходят через центр давления проекций x и y, а вертикальная составляющая проходит через центр тяжести тела давления.

Сила давления жидкости на цилиндрическую поверхность определяется по формуле:

= 0, так как на плоскость, нормальную оси 0y, цилиндрическая поверхность проектируется в виде линии, то есть y = 0.

Расположим координатные оси 0x и 0y в плоскости свободной поверхности жидкости и направим ось 0z вертикально вверх. Допустим, что внутри жидкости расположена невесомая, жёсткая, непроницаемая криволинейная пластинка, не имеющая толщины. Такая пластинка будет неподвижной. Требуется определить, с какой силой жидкость давит на эту пластинку.

Силы давления на верхнюю сторону пластинки F' и на нижнюю F равны между собой, но направлены в прямо противоположные стороны и взаимно уравновешены. Найдём одну из них, например F, равнодействующую элементарных сил dF.

Так как поверхность пластинки криволинейна, то силы dF образуют систему непараллельных сил. Такая система в общем случае приводится к главному вектору и одной паре сил.

Разложим каждую элементарную силу dF на три составляющие по координатным осям, то есть dFx, dFy и dFz:

где , , - углы наклона элементарных сил dF к координатным осям, различные для разных площадок d. Суммируя проекции элементарных сил, найдём соответствующие проекции равнодействующей силы F:

Сила F по величине будет равна:

Направление линии действия силы F

Направление линии действия силы F определяется по направляющим косинусам:

cos = ; cos = ; cos = .

Указанный способ решения осложняется или даже становится невозможным, если поверхность не может быть выражена алгебраически в виде функции . Для упрощения решения систему уравнений запишем в виде:

где р - гидростатическое давление в точке;

dx - проекция площадки d на вертикальную плоскость, перпендикулярную оси 0x;

dy и dz - проекции площадки d на плоскости, перпендикулярные осям 0y и 0z.

Выражение представляет собой силу давления жидкости на элементарную площадку dx.

Но интеграл представляет собой силу давления жидкости на всю плоскую площадку x, поэтому

Итак, получаем формулу:

где x - проекция криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

hсx - глубина погружения центра тяжести площади x под уровень свободной поверхности.

По аналогии получаем формулу:

где y - проекция криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

hсy - глубина погружения центра тяжести проекции y под уровень свободной поверхности.

Вертикальная проекция силы F, то есть сила Fz равна:

где h - глубина погружения площадки d под уровень свободной поверхности.

Произведение h dz можно рассматривать как элементарный объём dV. Поэтому силу Fz можно выразить как: