1. Какое наибольшее количество острых углов может быть в выпуклом n угольнике? 2. Можно ли выпуклый 39-угольник разрезать на девять выпуклых

1 СУММА УГЛОВ 1. Какое наибольшее количество острых углов может быть в выпуклом n угольнике? 2. Можно ли выпуклый 39-угольник разрезать на девять выпуклых 6-угольников? 3. ABCD выпуклый четырёхугольник, СВD = CАB, АСD = BDA. Доказать, что АDС = АBС. 4. На стороне АВ квадрата ABCD во внутреннюю его часть построен равносторонний треугольник АВЕ. Найти величину угла ЕDC. 5. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка Е так, что АЕ=ЕВ=ВС. Во сколько раз внешний угол при вершине В больше внутреннего угла при вершине А? 6. Чему равна сумма пяти углов в вершинах пятиконечной звезды? ПОСТРОЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ПО ТРЁМ ЭЛЕМЕНТАМ) 1. Построить треугольник АВС, зная сторону а, высоту h a и медиану m а. 2. Построить треугольник АВС, зная сторону а, высоту h a, и R-радиус описанной окружности. 3. Построить треугольник по трём элементам углу А, биссектрисе этого угла l a, и стороне b. 4. Построить треугольник по трём элементам периметру и двум углам. 5. Построить треугольник по трём элементам двум сторонам и медиане к третьей стороне ( a, b, m ). 6. Циркулем и линейкой построить треугольник по трём элементам: углам В, С- А>0, и стороне АС. 7. Построить треугольник АВС, зная углы А, В и r- радиус вписанной окружности. c

2 НЕСТАНДАРТНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ 1. Построить параллелограмм по трём элементам диагонали и двум сторонам. 2. Из данной точки построить окружность, рассекающую данную окружность на две равные дуги. 3. Построить параллелограмм по серединам трёх его сторон. 4. Внутри угла взята точка. Циркулем и линейкой построить отрезок с концами на сторонах угла, который проходит через эту точку и делится ею пополам. 5. Построить прямую, находящуюся на равных расстояниях от трёх данных точек. 6. Через данную точку А внутри данного угла ВСЕ провести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки. 7. Даны два угла с параллельными сторонами, их смежные стороны пересекаются в точке А. Провести через А прямую, на которой углы высекают равные отрезки. 8. Построить параллелограмм по трём элементам стороне и двум углам между этой стороной и диагоналями. 9. Построить треугольник по трём элементам углу А, биссектрисе этого угла l a, b стороне b. 10. Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине. 11. Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям. 12. Построить треугольник по трём элементам периметру и двум углам. 13. Даны окружность и прямая, не пересекающая окружность. Как с помощью циркуля и линейки построить квадрат, две соседние вершины которого лежат на данной окружности, а две другие вершины - на данной прямой (если известно, что такой квадрат существует)?

3 НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА, большая сторона против большего угла 1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке D, а продолжение стороны АС за точку А в точке Е. Доказать, что AD < AE. 2. Могут ли расстояния от некоторой точки на плоскости до вершин некоторого квадрата быть равными 1,4,7 и 8? 3. Доказать, что. 4. Пусть. Доказать, что угол А острый. 5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB+BD<AC+CD. Доказать, что AB<AC. 6. Пусть АВСD и A 1 B 1 C 1 D 1 два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Пусть А> А 1. Доказать, что тогда B< B 1, C> C 1., D< D В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) угол В=20. Доказать, что: а) АВ < 3 AC, б) AB > 2 AC. 8. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС с углом C=40 выбраны такие точки D и E, что ВЕD=20. Доказать, что AC+EC>AD. 9. На каждой стороне квадрата отмечено по точке. Доказать, что периметр образованного ими четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали квадрата. 10. На основании АС равнобедренного треугольника АВС выбрали точку D, а на продолжении АС за вершину С точку Е так, что AD = CE. Доказать, что BD+BE>AB+BC. 11. Пусть D середина основания АС равнобедренного треугольника АВС. Точка Е основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону ВС. F точка пересечения отрезков AE и BD. Какой отрезок длиннее BF или BE?

4 СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ 1. Доказать, что в треугольнике средняя линия равна половине основания и параллельна ему. 2. Дан угол с вершиной А, на его сторонах взяты точки В 1 и В 2 на одной, и С 1 и С 2 на другой. Доказать, что если АВ 1 = В 1 В 2, В 1 С 1 В 2 С 2, тогда АС 1 = С 1 С В точках А и В, лежащих на разных сторонах угла, восстановлены перпендикуляры к сторонам, которые пересекают биссектрису угла в точках С и D. Доказать, что середина отрезка CD равноудалена от точек А и В. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 1. Точка D взята на медиане BM треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ, а через точку С проведена прямая, параллельная медиане ВМ. Две полученные прямые пересекаются в точке Е. Доказать, что BE = AD. 2. Точки А 1, В 1, С 1 середины сторон ВС, СА, АВ соответственно треугольника АВС. На продолжении отрезка С 1 В 1 отложен отрезок В 1 К, причём 4 В 1 К = ВС. Известно, что АА 1 = ВС. Доказать, что АВ = ВК. 3. В четырёхугольнике ABCD точки K,L,M,N середины сторон AB,BC,CD,DA соответственно. Прямые AL и CK пересекаются в точке P, прямые AM и CN пересекаются в точке Q. Оказалось, что APCQ параллелограмм. Доказать, что ABCD тоже параллелограмм. 4. Пусть K и N середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD. Отрезки BN и КС пересекаются в точке О. Точки пересечения прямых AO и DO со стороной ВС делят отрезок ВС на три равные части. Доказать, что ABCD параллелограмм.

5 РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. В треугольнике АВС биссектриса из вершины А, высота из вершины В и серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекаются в одной точке. Найти величину угла А. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD А = D. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне AD. Доказать, что диагонали AC и BD равны. 3. AF медиана треугольника АВС. D середина отрезка AF, Е точка пересечения прямой CD со стороной АВ. Оказалось, что BD = BF = CF. Доказать, что АВ = СD. 4. В семиугольнике A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 диагонали А 1 А 3, А 2 А 4, А 3 А 5, A 4 A 6, A 5 A 7, A 6 A 1 и A 7 A 2 равны между собой. Диагонали А 1 А 4, А 2 А 5, А 3 А 6, A 4 A 7, A 5 A 1, A 6 A 2 и A 7 A 3 тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний? 5. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A 1 BC, AB 1 C и ABC 1. Докажите, что AA 1 =BB 1 =CC На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P - середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний. 7. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем BAM = MAK. Докажите, что BM + KD = AK. 8. Каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника. Верно ли, что этот четырёхугольник - параллелограмм? 9. В двух треугольниках равны пара сторон, пара прилежащих к ним углов, и положительная разность двух других сторон. Верно ли, что треугольники равны? 10. В треугольнике АВС выполняется равенство ВС = 2 АС. На стороне ВС выбрана такая точка D, что САD = CBA. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла С в точке Е. Доказать, что АЕ = АВ.

6 11. В остроугольном треугольнике АВС на сторонах АС и АВ отметили такие точки К и L, что прямая KL параллельна ВС, KL = KC. На стороне ВС выбрана точка такая М, что KMB = BAC. Доказать, что KM = AL. ОКРУЖНОСТЬ И КАСАТЕЛЬНАЯ 1. В треугольнике АВС стороны равны a,b,c. A 1,B 1,C 1 точки касания сторон ВС, СА, АВ соответственно вписанной окружностью. Найти длины отрезков АВ 1, ВС 1, СА В треугольнике АВС стороны равны a,b,c. A 1,B 1,C 1 точки касания сторон ВС, СА, АВ соответственно вневписанными окружностями. Найти длины отрезков АВ 1, ВС 1, СА В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что r = (a + b c)/2 и r c = (a + b + c)/2 MIXTURA 1. В трапеции ABCD длина боковой стороны АВ равна сумме длин оснований AD и BC. Докажите, что биссектрисы углов А и В пересекаются на стороне CD. 2. Доказать, что треугольник прямоугольный тогда и только тогда, если медиана к одной из сторон вдвое меньше ее длины. 3. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка Е так, что АЕ=ЕВ=ВС. Во сколько раз внешний угол при вершине В больше внутреннего угла при вершине А? РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. АВСD выпуклый четырёхугольник, в котором CAD + BCA = 180, и АВ = ВС + AD. Доказать, что CAВ + DCA = СDA.

7 2. На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС выбрана такая точка D, что BC = CD. На катете ВС взята такая точка Е, что DE = CE. Доказать равенство AD + BE = DE. 3. Доказать, что если в треугольнике равны две медианы. То он равнобедренный. 4. В треугольнике АВС, АВ=ВС, В=36 о, АЕ биссектриса. Доказать, что АЕ=АС. 5. В трапеции биссектрисы углов при верхнем основании пересекаются на нижнем основании. Доказать, что нижнее основание равно сумме боковых сторон трапеции. 6. В треугольнике АВС биссектриса BL, медиана CM и высота AH пересекаются в точке О, причем АО=ВО. Доказать, что треугольник правильный. Теорема ФАЛЕСА 1. Дан угол АОВ, на его стороне ОА взяты точки А 1 и А 2 так, что ОА 1 =А 1 А 2. Через точки А 1 и А 2 проведены параллельные прямые, пересекающие луч ОВ в точках В 1 и В 2. Доказать, что ОВ 1 =В 1 В Дан угол АОВ, на его стороне ОА взяты точки А 1 и А 2 так, что ОА 1 :А 1 А 2 =2:1. Через точки А 1 и А 2 проведены параллельные прямые, пересекающие луч ОВ в точках В 1 и В 2. Доказать, что ОВ 1 :В 1 В 2 =2:1. 3. Дан угол АОВ, на его стороне ОА взяты точки А 1 и А 2 так, что ОА 1 :А 1 А 2 =3:2. Через точки А 1 и А 2 проведены параллельные прямые, пересекающие луч ОВ в точках В 1 и В 2. Доказать, что ОВ 1 :В 1 В 2 =3:2. 4. Дан угол АОВ, на его стороне ОА взяты точки А 1 и А 2 так, что ОА 1 :А 1 А 2 =17:19. Через точки А 1 и А 2 проведены параллельные прямые, пересекающие луч ОВ в точках В 1 и В 2. Доказать, что ОВ 1 :В 1 В 2 =17:19.

8 5. Дан угол АОВ, на его стороне ОА взяты точки А 1 и А 2 так, что ОА 1 :А 1 А 2 =m:n. Через точки А 1 и А 2 проведены параллельные прямые, пересекающие луч ОВ в точках В 1 и В 2. Доказать, что ОВ 1 :В 1 В 2 =m:n. 6. Циркулем и линейкой разделить отрезок на 7 равных частей. 7. Циркулем и линейкой разделить отрезок в отношении 3:2. 8. Доказать, что точка пересечения двух медиан делит их в отношении 1:2. XXXL 1. Биссектрисы углов А и В выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р, а биссектрисы углов С и D в точке Q, отличной от точки Р. Прямая PQ проходит через середину отрезка АВ. Доказать, что или ВАD = CBA, или ВАD + CBA = В параллелограмме ABCD выполнено равенство AB + CD = = AC. На стороне ВС взята такая точка К, что АDВ = BDK. Найти отношение ВК:КС. 3. Внутри треугольника АВС на биссектрисе его угла В выбрана такая точка М, что АМ = АС, BСМ = 30. Доказать, что АМВ = На сторонах BC, AD, AB ромба ABCD выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что DP = DQ и ВRD = PDR. Доказать, что прямые DR, PQ, AC пересекаются в одной точке. 5. На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что АК = 2 КС, и АBК = 2 КBС. F середина стороны АС, L проекция А на ВК. Доказать, что прямые FL и BC перпендикулярны.