задача: Цифры трехзначных чисел
Сколько существует трёхзначных чисел N, обладающих следующим свойством: из цифр числа N можно составить шесть различных двузначных простых чисел?
Ответ
Решение задачи
Ваши ответы на задачу
ответов: 18
Андрей Момад 2015-03-08 20:21:22 пишет: блин, 11 - простое. ну. значит, 231 Андрей Момад 2015-03-08 20:20:03 пишет: ещё одна обратная корректировка: все "непростые" числа, у которых в десятках и в единицах - одинаковая цифра - не подлежать удалению. К полученному числу инвариантов прибавляем 9 таких комбинаций (11,22,33,44,55,66,77,88,99): 183 + 6*9 = 237 Андрей Момад 2015-03-08 20:15:17 пишет: да что ж со мной творится. 21 простое - значит, 79 непростых следовательно, 648 - 79*6 + 9 = 183 Андрей Момад 2015-03-08 20:12:50 пишет: Ладно, тогда приводим корректировку к моему решению. Найдём количество всех "непростых" двузначных чисел - и удалим по шесть инвариантов для каждого из них. Затем обратная корректировка: для девяти "непростых" чисел, кончающихся на 0, следовало удалять по пять, а не по шесть, инвариантов, ведь первая цифра всё равно не могла быть нулём. Итак, имеем: N = 648 - (количество_непростых)*6+9 Решаем: "Непростые" числа от 11 до 99: 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 всего 21 штука. итак, 648 - 21*6 + 9 = 531 Андрей Момад 2015-03-08 19:51:36 пишет: ойойой, как тут удалить ответ? я не заметил слово "простых". Андрей Момад 2015-03-08 19:50:44 пишет: Все цифры такого трёхзначного числа различны. Первая цифра не может быть "0" (раз число трёхзначное) - это даёт 9 вариантов Вторая цифра - любая из существующих десяти цифр десятичного счисления, кроме той, которая равна первой - это по девять вариантов на каждый вариант первой цифры. Наконец, для каждого из вариантов двух первых цифр, есть по восемь вариантов третьей цифры. 9*9*8 = 648 ivana2000 2014-05-18 15:04:57 пишет: 1. Все цифры должны быть нечетными, ибо в противном случае получим двузначное четное.
2. Среди цифр не может быть пятерки, ибо получим двузначное, делящееся на 5.
Остаются только цифры 1,3,7,9.
Из четырех по 3 можно составить
137, 139, 379, 179. 139 и 379 не подходят, т.к. 39=3*13. Остаются только комбинации 137 и 179, каждая из которых даст 3!=6 чисел. Проверяем и получаем все множество:
137,173,317,371,713,731,179,197,719,791,917,971. Итого 12 чисел. Админ: trigger64 2014-05-07 23:56:36 пишет: Поправка, не сочетания, а перестановки. Сорри, тупанул (нам же интересны все такие числа), поэтому P(9,3) = 9!/6! = 7*8*9 = 504 Админ: т.е. примерно каждое второе число удовлетворяет условию? Кажется, многовато :) trigger64 2014-05-07 23:53:07 пишет: Ровно 6 чисел двузначных из 3-х цифр трехзначного числа можно получить при двух условиях: 1) все 3 цифры - различные, иначе будут повторы 2) нет нулей, иначе будут комбинации с нулем в начале, а значит количество меньше 6. Значит, эти числа входят в сочетания 9 цифр по 3, т.е. C(9,3) = 9!/((9-3)!*3!) = 9!/(6!*6) = 7*8*9/6 = 7*4*3 = 84 не представился 2014-05-06 19:52:20 пишет: 24 Админ: поясните K2 2014-05-05 16:19:53 пишет: блиин - 1-7-9 - тоже, почему-то 71 на бумажке "вычеркнул" (( Ответ 12 - думаю правильный. Админ: K2 2014-05-05 16:17:09 пишет: Шесть. Это различные перестановки цифр 1, 3 и 7. 3! = 6. Вася Пупкин 2014-05-05 01:17:00 пишет: 1)Из трех позиций можно набрать ровно 6 двухпозициевых комбинаций -> значит, важны все 6.
2)Исходное число не может содержать четных цифр, иначе, попав в конец пары цифр, четная цифра каузнет четное, то бишь, не простое число, и простых станет заведомо меньше шести.
3)По тем же причинам отбрасываем пятерку.
4)Две одинаковые цифры дадут двузначное число, кратное 11-ти -> все цифры д.б. разные(впрочем, и без кратности 11-ти можно, просто палиндромность слепит два числа в одно).
5)Остаются, значит, нечетные, ктоме пятерки, то бишь, 1, 3, 7, 9.
6)Тройка и девятка не могут входить вместе, т.к. в двузначном сделают число, кратное трем. То бишь, наши кандидаты распадаются на числа с тройкой и числа с девяткой. Семерка и единица могут входить и туда и туда -- и более того, должны, бо больше некому.