Примеры решения типовых задач по дифференциальному исчислению функций одной переменной
Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента Х=2 приводит к неопределенности вида 0/0. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х-2). Так как аргумент Х только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель (х-2) отличен от нуля при Х®2:
Б) пусть Arctg 2X=Y. Тогда 2х=Tg Y; очевидно, что если Х®0, то Y®0. Следовательно,
(используем первый замечательный предел).
Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной. Так как при Х®0 Arctg 2X
В) При Х®¥ Основание стремиться к 1, а показатель степени 4х+1 стремиться к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1¥. Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:
Положим 2х+3=-4у; при Х®+¥ переменная У® -¥. Выразим показатель степени через новую переменную У. Так как 2х=-4у-3, то 4х+1=-8у-5. Таким образом,
(используем второй замечательный предел).
Г) При Х®2 Основание (3х-5) Стремится к единице, а показатель степени стремиться к бесконечности.
Положим 3х-5=1+A, где A®0 При Х®2. Тогда
Выразив основание и показатель степени через A, получим
Задача 13. Функция У задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента Х:
Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти предел функции У при приближении аргумента Х к точке разрыва слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.
Решение. Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-¥, -2), (-2, 1) и (1, +¥). При Х=-2 и Х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке Х=-2:
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна. Определим односторонние пределы в точке Х=1:
Так как односторонние пределы функции У в точке Х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.
Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельным значениями. Следовательно, в точке Х=1 скачок функции . График функции показан на рис. 5.
Задача 14. Дана функция
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента Х1=-2 и Х2=3; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции на отрезке [-6;6].
Решение. Если ищется предел функции У=F(х) при условии, что аргумент Х, стремясь к своему предельному значению A, может принимать только такие значения, которые меньше A, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке Х=A и условно обозначается так:
Функция У=F(х) непрерывна при Х=A, если выполняются следующие условия: 1) функция У=F(х) определена не только в точке A, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;
2) функция У=F(х) имеет при Х®A конечные и равные между собой односторонние пределы;
3) односторонние пределы при Х®A Совпадают со значением функции в точке A, т. е.
Если для данной функции У=F(х) в данной точке Х=A хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке Х=A.
Разрыв функции У=F(х) в точке Х=A называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.
При Х=-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при Х®-2 слева и справа
Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь отрицательным;
Так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным.
Таким образом, при Х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода. При Х=3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.
Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат (прямоугольных).
Чтобы построить эту гиперболу на заданном отрезке составим следующую таблицу: