научная статья по теме ТРЕХСЛОЙНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Математика

Текст научной статьи на тему «ТРЕХСЛОЙНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 4, с. 404-407

Поступило 18.12.2014 г.

Параболические и эллиптические уравнения описывают многочисленный класс задач, имеющих важное научное и промышленное значение. В настоящее время высокопроизводительные вычислительные системы допускают решение этих задач на подробных пространственных сетках. Высокое пространственное разрешение имеет большое значение для многих процессов.

Однако конкретная практика численного решения таких уравнений сталкивается с серьезными проблемами. Как правило, многие достаточно продуктивные при реализации на одном процессоре итерационные методы, используемые для решения систем уравнений, образующихся при неявной по времени аппроксимации, теряют свою эффективность для систем с экстрамассивным параллелизмом.

С другой стороны, хорошо адаптируемые на существенно многопроцессорную архитектуру методы простой итерации и явные схемы для решения параболических уравнений резко уменьшают свою скорость сходимости

А х или имеют жесткое ограничение на шаг по времени

при уменьшении пространственного шага Ах.

В данной работе, опираясь на ранее используемый прием искусственной гиперболизации, предложен метод численного решения таких уравнений. Данный метод, с одной стороны, легко адаптируется на архитектуру вычислительной системы с экстрамассивным параллелизмом, а с другой — имеет более мягкие ограничения на шаг по времени, чем условие (1).

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, Российской Академии наук, Москва E-mail: office@keldysh.ru

Deutsche Eletäronen Synchrotron, Hamburg, Germany Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Рассмотрение проведем на примере численного решения уравнения для гравитационного потенциала Ф(х, y, z), важного для многих задач астрофизики:

У2Ф (х, y, z ) = F (х, y, z), (2)

где Ф(х, y, z) представляет гравитационный потенциал и F (х, y, z) связана с массой обьекта.

ТРЕХСЛОЙНАЯ ЯВНАЯ СХЕМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Более 30 лет назад были предложены кинетически согласованные схемы [1, 2], которые, как и популярные Lattice Boltzmann (LBS) схемы [3, 4], опираются на связь между кинетическим и газодинамическим описанием сплошной среды. Следствием кинетических и LBS-схем является квазигазодинамическая система уравнений [1, 2, 5], одной из характерных особенностей которой является наличие членов со второй производной по времени с малым параметром:

где q (х, у, z, ?) — вектор газодинамических параметров, т* — время между столкновениями молекул, которые существенно меньше газодинамического времени.

Однако наличие члена с малым параметром при старшей производной по времени делает квазидинамическую систему гиперболической [6] и дает возможность для создания эффективных численных методов [7]. Воспользуемся этой идеей для решения уравнения (2).

Одним из методов решения уравнения (2) является схема

которая является явной схемой для уравнения

ТРЕХСЛОЙНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

Как уже отмечалось, схема (4) хорошо адаптируется на архитектуру многопроцессорных параллельных систем, однако обладает жестким условием стабильности по времени:

Вместо эллиптического уравнения (3), по аналогии с [7, 8], будем использовать для решения (2) другую вспомогательную систему:

Параметр т * выберем в виде Ах

где с — некоторая характерная для данного физического процесса "скорость".

В качестве такой скорости может быть выбрана характерная скорость, с которой изменяются газодинамические параметры, ответственные за формирование правой части Ш уравнения (2). Такой выбор т * делает возможным оценку по порядку величины

Это приводит к слабому отличию решений уравнений (4) и (5), что подтверждается численными расчетами и теоретической оценкой [9] разности Ф этих решений в некой норме:

Ф - 2Ф \ + Ф ]1 Ах2

Как показывает анализ [10], условие устойчивости этой схемы при таком выборе т * (7) удовлетворяет неравенству

Условие (12) гораздо более приемлемо, чем условие (1). Сразу заметим, что в ряде практических трехмерных расчетов при числе узлов порядка 109 наблюдалось еще более мягкое условие:

курантовского типа для гиперболических уравнений.

ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА

Схема (11) использовалась для определения трехмерного гравитационного поля, знание которого важно для решения многих задач астрофизики. Однако вначале приведем ее сопоставление с явной схемой (4). Выбор этих далеко не оптимальных методов решения параболических и эллиптических уравнений вызван тем, что эти методы идеально адаптируются на архитектуры многопроцессорных систем с экстрамассивным параллелизмом.

Для верификации предложенного метода выбран пример численного решения для гравитационного потенциала компактного массивного астрофизического объекта с равномерным распределением плотности. Астрофизическое тело размером Я = 3 • 104 м с равномерным распределением плотности р = 0.35 • 1018 кг/м3.

Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

У2Ф (х, у, г) = 4кОр(г), р, г < Я,

где е — малая величина, зависящая от (т * )2.

Из (9) следует, что сколь-нибудь значительное отличие между решениями (4) и (5) возможно только для высокочастотных по времени составляющих решения. Заметим, что эти высокоточные составляющие связаны с сильным изменением по пространству на расстояниях порядка Ах и менее, которые ни численные решения (2), ни (4) не описывают.

Трехслойная схема для расчета исходных как эллиптических (2), так и параболических (4) уравнений имеет вид

где Р (Г) =\0, г > Я, и для данной задачи имеет аналитическое решение [11]:

для области внутри массивного объекта

ф (г) = -2 пОр(3Я2 - г2), (15)

для области вне массивного объекта

Ф (г) = - 4 пОр ^. (16)

Численное решение выполнено на физической области 1.6 • 105 х 1.6 • 105 х 1.6 • 105 м3 с прямоугольной трехмерной сеткой размерностью до 1024x1024x1024 (1073471824) ячеек. Для решения использована явная численная схема (11). Относительная погрешность решения для установившегося решения выбрана 10-8.

На рис. 1 приведено двухмерное представление гравитационного трехмерного потенциала астрофизического компактного объекта, вычисленного предложенным методом с гиперболической релаксацией. Различие между аналитическим решением Фа и численным решением Фп

ЧЕТВЕРУШКИН и др.

Рис. 1. Двухмерное представление трехмерного гравитационного потенциала компактного массивного астрофизического объекта.

Рис. 2. Зависимость отношения дискретизации по времени (шага по времени) гиперболического (Д?г) и параболического (Д?п) типов уравнения Пуассона как функция шага по пространству (уменьшение шага по пространству соответствует увеличению количества пространственных ячеек, максимальное значение соответствует трехмерному пространству 1024 х 1024 х 1024 ячеек).

Максимальное различие находится в пределах десятой доли процента, на границе внутренней и внешней областей компактного объекта с резким изменением плотности, что, впрочем, естественно при любой форме дискретизации. Столь небольшое различие подтверждает возможность использования системы (7).

На рис. 2 приведен анализ временной дискретизации (шага по времени) от дискретизации по пространству (шага сетки) для гиперболического и параболического типа уравнений магнитогидродинамики. Как показано ранее, параболический тип системы показывает квадратичную зависимость шага по времени при уменьшении пространственного шага, для гиперболического

типа уравнения зависимость степени 3. Это дает

значительный выигрыш по времени вычислений на подробной пространственной сетке. При минимальном пространственном шаге (в нашем случае общее число ячеек

109) отношение шага по времени для гиперболического типа уравнения Пуассона к параболическому типу составляет

55, что является существенным вкладом в достижение приемлемого времени вычислений для крупномасштабных задач на подробной пространственной сетке.

В работе предложен метод гиперболизации эллиптических уравнений, в частности уравнения Пуассона для гравитационного потенциала компактного массивного астрофизического объекта, для оптимизации численного решения данного класса задач на вычислительных системах высокой производительности с массивным параллелизмом. Для численного решения используется явная трехслойная схема, обладающая логической простотой и высокой эффективностью, важнейшими критериями для параллельных вычислительных систем высокой производительности. Полученный результат показывает значительное преимущество метода гиперболизации в плане вычислительного времени, выигрыш по времени вычисления гравитационного потенциала компактного массивного астрофизического обьекта составляет

50 для подробной пространственной сетки, в сравнении с параболическим типом уравнений.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 14—11—00170).

1. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений М.: МАКС Пресс, 2004. 332 с.

ТРЕХСЛОЙНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

2. Chetverushkin B.N. Kinetic Schemes and Guasi-Gas Dynamic System of Equations. Barcelona: CIMNE, 2008. 298 p.

3. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation in Fluid Dynamics and Beyond. Oxford: Clarendon Press, 2001.

4. Tsutahara M, Takada N, Kataoka N. Lattice Gas and Lattice Boltzmann Methods — New Methods of Computational Fluid Dynamics. Tokyo: Corona Publ., 1999.

5. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газод

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Пoхожие научные работы по теме «Математика»

Д'АСЧЕНЗО Н., САВЕЛЬЕВ В.И., ЧЕТВЕРУШКИН Б.Н. — 2015 г.

Д'АСЧЕНЗО (N. D'ASCENZO) Н., САВЕЛЬЕВ В.И., ЧЕТВЕРУШКИН Б.Н. — 2014 г.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎