О рациональных направлениях вплоской решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследуются рациональные и иррациональные вращения для множества рациональных направлений в плоской точечной решетке . Доказано, что в случае рациональных вращений порядок некристаллографического поворота может быть равен только 8 или 12. Множество рациональных направлений в прямоугольной точечной решетке с метрической квадратичной формой x 2 + λ 2 y 2 и в произвольной ее центрировке обладает иррациональным вращением , если и только если число λ 2 рационально.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Штогрин Михаил Иванович

ON RATIONAL DIRECTIONS IN THE FLAT LATTICE

Rationalandirrational rotationsfortheset of rationaldirectionsinthe flat point lattice are considered. It is proved that in the case of rational rotations an order of noncrystallographic turn can be only 8 or 12. The set of rational 22directionsin the rectangularpointlattice withmetricquadraticform x+λ 2 yand arbitrary its centering has irrational rotation if and only if the number λ 2 is rational.

Текст научной работы на тему «О рациональных направлениях вплоской решетке»

Том 16 Выпуск 2 (2015)

УДК 514.11 + 514.87

О РАЦИОНАЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ В ПЛОСКОЙ РЕШЕТКЕ

М. И. Штогрин (г. Москва)

stogrin@mi. ras. ru Аннотация

Исследуются рациональные и иррациональные вращения для множества рациональных направлений в плоской точечной решетке. Доказано, что в случае рациональных вращений порядок некристаллографического поворота может быть равен только 8 или 12. Множество рациональных направлений в прямоугольной точечной решетке с метрической квадратичной формой x2 + Л2 у2 и в произвольной ее центрировке обладает иррациональным вращением, если и только если число Л2 рационально.

Ключевые слова: решетка, примитивная ячейка, рациональное направление, вращение, угол, тангенс.

Библиография: 3 наименования.

ON RATIONAL DIRECTIONS IN THE FLAT LATTICE

M. I. Shtogrin (Moscow)

Rational and irrational rotations for the set of rational directions in the flat point lattice are considered. It is proved that in the case of rational rotations an order of noncrystallographic turn can be only 8 or 12. The set of rational directions in the rectangular point lattice with metric quadratic form x2+Л2 y2 and arbitrary its centering has irrational rotation if and only if the number Л2 is rational.

Keywords: lattice, unit cell, rational direction, rotation, angle, tangent.

Bibliography: 3 titles.

Теория точечных решеток в Мп подробно изложена в книге С. С. Рышкова [1]. Для точечных решеток в М3 в статье А. В. Гадолина [2] было введено понятие равенства направлений и при допущении закона рационального отношения между параметрами найдены все так называемые точечные группы симметрии кристалла, или 32 кристаллографических класса. Для плоской сетки, или точечной решетки в М2, ниже будут исследованы все те вращения плоскости, при которых все рациональные направления в произвольной точечной решетке, расположенной в двумерной плоскости, остаются рациональными.

1. Плоская сетка

В двумерной евклидовой плоскости рассмотрим произвольный параллелограмм. Построим разбиение плоскости на конгруэнтные и параллельные ему параллелограммы, в котором смежные параллелограммы пересекаются по целым сторонам (такое разбиение мы называем нормальным). Все прямые, на которых расположены стороны параллелограммов, составляют плоскую сетку. Точки пересечения этих прямых называют узлами. Узлы, или вершины данного разбиения, составляют точечную решетку, или просто решетку, см. [1]. Всякий параллелограмм разбиения называют основным параллелограммом, или примитивной ячейкой, плоской точечной решетки.

Каждая точка плоскости принадлежит хотя бы одному параллелограмму рассматриваемого разбиения, а любая достаточно малая ее окрестность принадлежит

1) одному параллелограмму разбиения, если она расположена внутри него,

2) двум параллелограммам разбиения, если расположена внутри стороны,

3) четырем параллелограммам разбиения, если она расположена в вершине. Следовательно, решетка является дискретной системой точек. Точки произвольной точечной решетки изолированы друг от друга и никакая точка плоскости не является предельной точкой для последовательности точек, или узлов, принадлежащих решетке.

Примем вершину одного из параллелограммов построенного нормального разбиения за начало координат, а ребра параллелограмма, выходящие из начала, примем за единичные отрезки двух координатных осей. Тогда все вершины разбиения и только они будут иметь целочисленные координаты. Таким образом, точечная решетка может быть определена как совокупность точек с целочисленными координатами в каком-то репере, который называют основным репером решетки. В качестве начала координат может быть взята любая точка решетки. Если взять какой-то вектор с началом и концом в точках данной решетки, то параллельный ему вектор с началом в точке решетки будет иметь конец в точке этой же решетки. Параллельный перенос на вектор решетки, обладающий целочисленными координатами в ее основном репере, совмещает всю решетку с собой. Таким образом, любая точечная решетка обладает свойством параллельной переносности.

В силу дискретности и параллельной переносности решетки порядок п поворота, совмещающего решетку с собой, не может быть любым. В [2] доказано, что порядок п не больше 6 и не равен 5, т.е. п ^6ип = 5. В самом деле, выберем в плоскости

точку решетки, ближайшую к центру поворота и не совпадающую с ним. Размножив эту точку решетки всеми поворотами вокруг центра вращения, совмещающими решетку с собой, получим выпуклый правильный п-угольник, все вершины которого принадлежат решетке. Пусть п ^ 3. Тогда на двух смежных сторонах п-угольника построим ромб. Три вершины ромба совпадают с вершинами п-угольника и поэтому принадлежат решетке. Значит, четвертая вершина ромба также должна принадлежать решетке. Однако при п = 5 и п ^7 четвертая вершина ромба не расположена в центре вращения и является более близкой к центру, чем вершина п-угольника. Но этого не может быть, так как вершина п-угольника была взята ближайшей к центру вращения точкой решетки. Значит, порядок поворота двумерной решетки находится среди целых чисел 1, 2, 3, 4, 6. Он кристаллографический. В итоге получена

Теорема 1. Правильные многоугольники с вершинами в точках решетки — это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.

Рассмотрим выпуклый правильный п-угольник при п = 5 или п ^ 7. Одну из вершин п-угольника соединим прямолинейными отрезками со всеми остальными его вершинами. Рассмотрим всевозможные линейные комбинации полученной совокупности векторов с целочисленными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Ъ. Концы всех этих векторов составляют параллельно переносную систему точек. Однако она не является решеткой. В самом деле, четвертая вершина ромба, упомянутого выше, не расположена в центре п-угольника и является более близкой к центру, чем вершина п-угольника. Все четвертые вершины из п таких ромбов являются вершинами меньшего правильного п-угольника. Повторяя эти рассуждения вновь и вновь, мы получаем, что центр п-угольника является предельной точкой для построенного параллельно переносного множества точек, содержащего вершины п-угольника. Следовательно, оно не является точечной решеткой, см. выше и [1], [2].

Произвольная плоская точечная решетка центрально-симметрична с центром симметрии в точке решетки и с центром симметрии в середине отрезка с концами в ее точках.

Если имеется поворот плоскости, совмещающий точечную решетку с собой и не оставляющий ни одной ее точки на том же месте, то имеется такой же поворот, совмещающий решетку с собой и оставляющий некоторую ее точку на том же месте. В самом деле, если при повороте каждая точка решетки заняла новое положение, то посредством параллельного переноса решетки одно из новых положений точки можно вернуть в старое положение. Значит, результирующий поворот будет происходить вокруг старого положения точки решетки. Таким образом, если двумерная точечная решетка обладает поворотом какого-то порядка, совмещающим решетку с собой, то она обладает точно таким же поворотом вокруг точки решетки. Группу поворотов плоскости вокруг точки решетки, совмещающих решетку с собой, называют точечной группой данной решетки. Группу всех поворотов плоскости вокруг точки решетки, совмещающих решетку с собой, то есть максимальную точечную группу решетки, называют голоэдрией. Голоэдрия может обладать поворотами 1-го и 2-го рода; поворотом 2-го рода служит зеркальное отражение от прямой.

В М2 существуют всего четыре различные голоэдрии. Одна из них имеет два це-лочисленно неэквивалентные представления в виде группы целочисленных (2 х 2)-матриц. Если представления голоэдрий целочисленно эквивалентны, то решетки от-

носятся к одному типу Браве. Имеются пять типов Браве плоских решеток. Эти решетки соответственно имеют названия косоугольная, прямоугольная примитивная, прямоугольная центрированная, квадратная и гексагональная, см. [3].

2. Рациональное направление

Рассмотрим поворот порядка п, п ^5, вокруг точки решетки О. Возьмем прямолинейный отрезок ОА, который имеет рациональное направление в решетке. Значит, найдется точка А', принадлежащая решетке и расположенная на луче О А, т.е. расположенная внутри отрезка ОА, на его продолжении или совпадающая с А. Пусть при повороте вокруг точки О на угол ^ = 2п отрезок ОА переходит в отрезок ОВ, отрезок ОВ переходит в ОС, ОС переходит в О^, О^ в ОЕ, . , причем все они имеют рациональные направления. Тогда их концы А, В, С, Е, . являются вершинами правильного многоугольника, расположенного в плоскости решетки. Рассмотрим три соседних отрезка ОА, ОВ и ОС. Отрезок ОВ направлен по биссектрисе угла между ОА и ОС. Так как отрезок ОВ имеет рациональное направление в решетке, то найдется точка В', принадлежащая решетке и расположенная на луче ОВ, т.е. расположенная внутри отрезка ОВ, на его продолжении или совпадающая с В. Построим ромб с диагональю ОВ', противоположные стороны которого коллинеарны соответственно отрезкам ОА и ОС. Все четыре стороны ромба рациональны, так как они проходят через точки А и В' , принадлежащие рассматриваемой точечной решетке, и имеют в ней рациональные направления. Значит, все вершины ромба рациональны. А так как две вершины ромба, расположенные на лучах ОА и ОС, имеют рациональные координаты и они равноудалены от вершины О, то на лучах ОА и ОС имеются точки решетки, равноудаленные от вершины О. Для их получения достаточно координаты имеющихся двух вершин ромба умножить на (наименьшее) общее кратное их знаменателей.

Точно так же, отрезок О^ направлен по биссектрисе угла между отрезками ОС и ОЕ. Следовательно, на лучах ОС и ОЕ имеются точки решетки, равноудаленные от вершины О. Таким образом, в данном случае на луче ОС получится какая-то точка решетки. В предыдущем случае на этом же луче ОС могла получиться совсем другая точка решетки. Возьмем на луче ОС точку, расстояние которой от О кратно расстояниям от О в этих двух случаях. На этом расстоянии имеются точки решетки на всех трех лучах ОА, ОС и ОЕ. Итак, на лучах ОА, ОС и ОЕ имеются точки решетки, равноудаленные от О.

Повторяя эти рассуждения вновь и вновь, сделаем полный обход вокруг точки О или же сделаем вокруг точки О два полных обхода. В итоге мы получим одно из двух: либо существует правильный ^-угольник при четном п, либо существует правильный п-угольник при нечетном п. В обоих случаях вершины многоугольника принадлежат точечной решетке. Однако при нечетном п ^5 такого не может быть, см. выше и [2]. При четном п возможно лишь ^ = 3,4,6, т.е. п = 6,8,12. В итоге нами получена следующая

Теорема 2. Если совокупность рациональных направлений в решетке совмещается с собой некристаллографическим поворотом, то его порядок равен 8 или 12.

Осталось выяснить, бывают ли повороты 8-го и 12-го порядков. Если бывают, то решетка должна содержать вершины квадрата или гексагона, см. выше.

Пусть рациональные направления заданы единичными векторами, выпущенных из одной и той же точки. Тогда их концы будут расположены на единичной окружности с центром в этой точке. Наша дальнейшая цель — исследовать некристаллографические повороты множества рациональных направлений в плоской точечной решетке, как множества точек на окружности.

Поворот 8-го порядка. В ортонормированном репере точки с координатами

а также точки с координатами

расположены на единичной окружности с центром в начале координат и имеют рациональные направления в квадратной решетке, построенной на упомянутом репере. Совокупность восьми радиус-векторов этих точек совмещается с собой поворотом 8-го порядка вокруг начала координат. Правда, поворот 8-го порядка не совмещает решетку с собой.

Радиус-векторы двух точек (1,1) и (-1,1) данной решетки составляют основной репер другой квадратной решетки, которая является подрешеткой исходной решетки. Она подобна ей с коэффициентом подобия л/2 и поворотом на угол Обе квадратные решетки имеют одну и ту же совокупность рациональных направлений, задаваемых точками единичной окружности. Поворот 8-го порядка вокруг начала совмещает эту совокупность с собой.