Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд.Уравнение Бесселя
если коэффициенты и голоморфны в этой точке: в противном случае точка называется особой точкой дифференциального уравнения (21).
где — заданное число, а степенной ряд сходится в некоторой области , называется обобщенным степенным рядом .
Если есть целое неотрицательное число, то обобщенный степенной ряд (22) обращается в обычный степенной ряд.
Теорема. Если точка и уравнения представимы в виде
где ряды в числителях сходятся в некоторой области , а коэффициенты и не равны нулю одновременно, то уравнение (21) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного ряда
который сходится, по крайней мере, в той же области .
Для определения показателя и коэффициентов нужно подставить ряд (22) в уравнение (21), сократить на
Пусть и — корни определяющего уравнения (23). Будем различать три случая.
1. Если разность не равна целому числу или нулю, то можно построить два решения вида (22)
2. Если разность есть целое положительное число, то можно построить, вообще говоря, лишь один ряд (решение уравнения (21))
3. Если уравнение (23) имеет кратный корень , то также, можно построить лишь один ряд — решение (25). Понятно, что в первом случае построенные решения и будут линейно независимы (т.е. их отношение не будет постоянной величиной).
Во втором и третьем случаях мы построили только по одному решению. Отметим, что если разность есть целое положительное число или ноль, то наряду с решением (25) уравнение (21) будет иметь решение вида
В этом случае содержит добавочное слагаемое вида , где задается в виде (25).
Замечание. Постоянная получим выражение в виде обобщенного степенного ряда.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Перепишем (27) в виде
Решение будем искать в виде
Для нахождения выпишем определяющее уравнение , где
Согласно приведенному правилу, берем
Для того, чтобы найти , надо поставить и ее производные и в уравнение (27):
Подстановка в (27) дает
После преобразований (28) перепишется так:
Так как ищется решение для
Отсюда находим соотношение для определения коэффициентов
Полагая в первом уравнении соотношений (31) , получим . Из второго уравнения имеем . Из третьего и т.д. Легко заметить, что
Аналогично находим и коэффициенты . Оказывается, что при
Обшее решение уравнения (27) , где и задаются формулами (32) и (33).
Пример 5. Взаимодействие двух ядер с хорошим приближением можно описать с помощью потенциала мезонных сил (притяжению соответствует решение волнового уравнения Шредингера
где и — постоянные (ограничиться тремя ненулевыми коэффициентами ряда, отвечающего большому корню определяющего уравнения).
Решение. Ищем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда
Коэффициенты и определяющего уравнения будут равны
так что оно принимает вид , откуда .
Обобщенный степенной ряд для случая
Кроме того, имеем
Подставляем в уравнение (14) ряды для и :
Приравниваем нулю коэффициенты при степенях
Из полученных равенств последовательно находим
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (35), получаем
где — произвольная постоянная.
Пример 6. Решить уравнение Бесселя (где — заданная постоянная)
Решение. Перепишем (36) в виде
(см. формулы (24)). Определяющее уравнение для :
Первое частное решение Бесселя (36) ищем в виде обобщенного степенного ряда . Подставляя и в уравнение (36), получаем
или, после простых преобразований и сокращения на
Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях
Первое из соотношений (37) удовлетворяется при любом значении коэффициента . Из второго соотношения (37) получаем , из третьего
из четвертого , из пятого
Очевидно, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю: . Коэффициенты с четными индексами имеют вид:
Для упрощения дальнейших выкладок примем
где — гамма-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:
Гамма-функция обладает следующими важными свойствами:
Пользуясь (38) и свойствами Г-функции, коэффициент запишем в виде
ибо , согласно свойству 3, равно . Теперь частное решение уравнения Бесселя, которое мы будем в дальнейшем обозначать через , принимает вид
Эту функцию принято называть Бесселевой функцией первого рода порядка .
Второе частное решение уравнения Бесселя (36) ищем в виде
где — второй корень определяющего уравнения. Ясно, что это решение может быть получено из (39) путем замены на , так как уравнение (36) содержит в четной степени и не меняется при замене на .
Эту функцию называют Бесселевой функцией первого рода порядка .
Если не равно целому числу, то решения и являются линейно независимыми, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней может тождественно равняться нулю лишь при .
Если есть целое число, то можно установить линейную зависимость функций и , а именно оказывается, что
Итак, при целом вместо надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от . Для этого введем новую функцию
считая сначала, что — нецелое число.
Очевидно, что так определенная функция является решением уравнения (36) (в связи с тем, что она представляет линейную комбинацию частных решений и ).
Переходя к пределу в (40) при , стремящемся к целому числу , получаем частное решение , линейно независимое от и определенное уже и для целых значений .
Введенная здесь функция называется бесселевой функцией второго рода порядка . Таким образом, для всякого , дробного или целого, мы построили фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (36). Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (36) может быть представлено в виде
Замечание 1. Часто встречающееся уравнение
где , приводится к уравнению Бесселя
Общим решением уравнения (42) (при , отличном от целого числа) будет