геометрия - В правильной четырехугольной пирамиде PABCD

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что tgβ=3/4 А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р. Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

задан 18 Дек '16 10:00

Отвечаю @abracadabra2 на комментарий внизу. Пирамида правильная, поэтому она симметрична относительно плоскости, проходящей через P и середины сторон AB, CD. Плоскость alpha переходит при такой симметрии в себя, и грань PCD тоже. Тогда линия пересечения переходит также в себя, и потому она перпендикулярна плоскости симметрии. Значит, она параллельна AB и CD. Но я не вижу нужды в таком "прожёвывании". Строгости рассуждений это не добавляет. Слово "симметрия" произносится как "пароль", что должно избавлять от доставания "тугумента" из кармана :)

@falcao Вот видите. А я пытался понять, какое отношение к делу имеет симметрия, по которой AB переходит в CD и обратно, а P переходит в себя.

Поскольку речь идёт не об экзамене, то меня строгость рассуждений (как количественная характеристика) не волнует совсем, равно как и другие побочные качества их изложения, а волнует в нём только понятность. :)

И в этом контексте совершенно безразлично, что подумает «полиция мысли»…

1 ответ

Проведём прямую PE в грани PCD: CE=ED. PE пересекается с плоскостью $%\alpha$% в точке I; та же плоскость пересекает прямую PC в точке J. (AB || CD || IJ.) На основание пирамиды из точки I опущен перпендикуляр IH. Середина отрезка AB — это точка M; середина отрезка CD — это точка N; центр основания — это O.

Рассмотрим прямоугольные треугольники MIH и NIH. Их вертикальные катеты тожественны, а сумма горизонтальных катетов — сторона основания пирамиды, то есть 20. Для первого треугольника отношение вертикального катета к горизонтальному — 9/12, для второго — 9/8. Это значит, что IH=9, MH=12, NH=8, NH/OH=4/5. Но отсюда отношение NI/NP — тоже 4/5, и отношение CJ/CP — такое же. Что и требовалось показать.

Сечение — трапеция. В прямоугольном треугольнике MIH мы вычислили, что MH=12, IH=9; отсюда MI=15 (высота трапеции). Раз PI/PN=1/5, то и верхнее основание трапеции — тоже одна пятая от стороны основания: 20/5=4. Отсюда площадь трапеции — $%15 \cdot 24 / 2 = 180$%.

отвечен 18 Дек '16 21:46

@abracadabra2: Для первого треугольника отношение вертикального катета к горизонтальному — 9/12, для второго — 9/8. Судя по всему, эти значения найдены подбором. Строго говоря, мы знаем лишь то, что IH=3x, MH=4x, NH=20-4x. Без использования данных о том, что высота пирамиды равна 11,25, большего сказать мы не можем.

3/4 = 9/12; 11,25/10 = 9/8. Не судите, да не судимы будете.

@abracadabra2: дело не в том, верно ли найдены эти значения, а в том, как они найдены. В решении даже не упомянута сама величина 11,25, поэтому аргументация выглядит неполной. Я не считаю, что здесь все мелкие стандартные операции нужно детально расписывать, но хотя бы упомянуть, откуда что берётся, имеет смысл. Вот даже если бы было написано в форме 11,25/10=9/8, то такое объяснение уже выглядело бы достаточным, так как легко восстановить ход мысли.

@abracadabra2: если Вы согласны с тем, что в экзаменационной работе следовало хоть как-то упомянуть связь с числом 11,25, то у меня нет никаких возражений. Также я согласен с тем, что объяснения на форуме часто могут быть краткими. Но одно дело, когда Вы объясняете "другу", которого хорошо знаете, и другое, если речь об ученике, который только приобретает опыт и усваивает стандарты оформления. Замечу также, что мои внутренние критерии правильности намного "мягче" того, как это иной раз бывает.

Была, кстати, вещь, для которой у меня не было хода мысли на момент написания ответа: это почему CD || IJ. Вроде бы очевидно, но как подтвердить? То, что AB || IJ, опять-таки нуждается в доказательстве.

Потом я уже сообразил. У прямой CD нет общих точек с $%\alpha$%, т. к. CD || AB. IJ принадлежит $%\alpha$% — не столько даже по построению, сколько по обозначению. Следовательно, у AB нет общих точек с IJ. Поскольку CD и IJ принадлежат одной и той же грани пирамиды, это означает, что они параллельны.

@abracadabra2: вот такие обоснования я как раз привык опускать, потому что это следует хотя бы из соображений симметрии. Возможно, кто-то из экзаменаторов мог бы и к вещам этого уровня "придраться", но тогда это точно был бы не я :)

@falcao Можно пояснить? Насколько я понимаю, слово «симметрия» обозначает наблюдение, что если свойство соблюдено для неких предметов А1, Б1, …, то оно же соблюдено для предметов А2, Б2, …: например, если (-x, y) — точка, принадлежащая параболе с вершиной в начале координат, то (x, y) — тоже такая точка со всеми вытекающими последствиями. Но я не понимаю, что Вы имеете в виду, когда говорите, что в данной задаче симметрия может обосновать параллельность CD || IJ…